2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及复数的乘法运算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） $(1-\text{i}{)}^2\cdot \text{i}=$ ()

A. $2-2\text{i}$　　　　　　B. $2+2\text{i}$　　　　　　C. $-2$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑：利用完全平方公式对代数式的第一部分 $(1-\text{i}{)}^2$ 进行展开，结合 ${\text{i}}^2=-1$ 化简出最简纯虚数形式。
2. 第二步逻辑：将第一步化简得到的结果与乘子 $\text{i}$ 级联相乘，再次利用虚数单位性质消除虚数符号，转化为实数解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据代数完全平方公式 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$，将原式的第一部分进行展开： $(1-\text{i}{)}^2=1^2-2\text{i}+{\text{i}}^2\text{（式1）}$ 由于虚数单位满足基本性质： ${\text{i}}^2=-1\text{（式2）}$ 将（式2）代入（式1）中进行常数项消除化简： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}\text{（式3）}$

将（式3）求得的纯虚数结果代回原题目的乘法表达式中： $(1-\text{i}{)}^2\cdot \text{i}=(-2\text{i})\cdot \text{i}=-2{\text{i}}^2\text{（式4）}$ 再次将虚数单位性质（式2）代入（式4）的二次项中进行消元： $-2{\text{i}}^2=-2\times (-1)=2$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特殊复数恒等性质 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$ 的化简；虚数单位二次幂 ${\text{i}}^2=-1$ 的有理化。
2. 核心方法：直接代数运算法。
3. 避坑指南：
   • 切勿在完全平方展开时由于符号粗心导致笔误：部分学生容易将 ${\text{i}}^2$ 错误记为 $1$，从而将 $(1-\text{i}{)}^2$ 错算为 $2-2\text{i}$。请牢记高考复数高频核心恒等性质： $(1-\text{i}{)}^2\equiv -2\text{i},(1+\text{i}{)}^2\equiv 2\text{i}$ 在考场上直接提取此结论可实现快速准确解答。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材复数的基本运算章节的课后基础练习题，是高考考查复数概念与代数运算基本功最标准的送分低档题。
2. 结论推广: 一般地，在复平面内，复数 $z=1-\text{i}$ 可表述为欧拉公式形式： $z=\sqrt{2}{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\pi }{4}}$。对其施加 $n$ 阶乘方： $z^n=(\sqrt{2}{)}^n{\text{e}}^{-i\frac{n\pi }{4}}$。本题中 $(1-\text{i}{)}^2\cdot \text{i}$ 实质上等价于利用运算 $\text{i}={\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{2}}$ 对该图形实施了平移。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1985-全国文-10 填-复数的乘方
• 1988-全国文-01 单-复数的乘方