2004-上海卷理-20 解-求函数解析式

本题导读

本题考查函数与方程的根。核心在于待定系数法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 已知二次函数 $y=f_1(x)$ 的图象以原点为顶点且过点 $(1,1)$，反比例函数 $y=f_2(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 的两个交点间距离为 8， $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的表达式；

(2) 证明：当 $a>3$ 时，关于 $x$ 的方程 $f(x)=f(a)$ 有三个实数解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设解析式并求解：
   • 顶点为原点，设 $f_1(x)=k_1{x}^2$，代入 $(1,1)$ 确定 $k_1$。
   • 设 $f_2(x)=\frac{k_2}{x}$，联立 $y=x$ 得到对称的两个交点坐标，利用两点间距离公式解出 $k_2$。
2. 方程根的个数证明：
   • 方程 $f(x)=f(a)$ 等价于 $x^2+\frac{8}{x}=a^2+\frac{8}{a}$，移项变形并提取因式 $(x-a)$。
   • 剥离出一个确定的根 $x=a$ 后，剩下的部分化为关于 $x$ 的一元二次方程，通过判别式 $\Delta$ 判定是否有两个互异实根，并验证这些根是否与 $x=a$ 重合。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=x^2+\frac{8}{x}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 求函数 $f(x)$ 的表达式：

因为二次函数 $y=f_1(x)$ 的图象以原点 $(0,0)$ 为顶点， 所以可设： $f_1(x)=k_1{x}^2(k_1\ne 0)$ 又因为其图象过点 $(1,1)$，代入得： $1=k_1\times 1^2⟹k_1=1$ 故 $f_1(x)=x^2$。

设反比例函数为： $f_2(x)=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 联立反比例函数与直线 $y=x$： $\{\begin{array}{l}y=\frac{k_2}{x}\\ y=x\end{array}⟹x^2=k_2$ 若有交点，必有 $k_2>0$。解得两个交点的横坐标分别为 $x=\sqrt{k_2}$ 和 $x=-\sqrt{k_2}$。 由于两交点在直线 $y=x$ 上，故两交点坐标为 $A\left(\sqrt{k_2},\sqrt{k_2}\right)$ 和 $B\left(-\sqrt{k_2},-\sqrt{k_2}\right)$。 根据两点间距离公式： $|AB|=\sqrt{{\left(\sqrt{k_2}-(-\sqrt{k_2})\right)}^2+{\left(\sqrt{k_2}-(-\sqrt{k_2})\right)}^2}=\sqrt{(2\sqrt{k_2}{)}^2+(2\sqrt{k_2}{)}^2}=\sqrt{8k_2}$ 已知交点间距离为 8，得： $\sqrt{8k_2}=8⟹8k_2=64⟹k_2=8$ 故 $f_2(x)=\frac{8}{x}$。

因此，综合两部分可得 $f(x)$ 的表达式为： $f(x)=x^2+\frac{8}{x}(x\ne 0)$

(2) 证明：当 $a>3$ 时，关于 $x$ 的方程 $f(x)=f(a)$ 有三个实数解：

方程 $f(x)=f(a)$ 即为： $x^2+\frac{8}{x}=a^2+\frac{8}{a}(x\ne 0)$ 移项并进行分组： $(x^2-a^2)+\left(\frac{8}{x}-\frac{8}{a}\right)=0$ 利用平方差公式与通分化简： $(x-a)(x+a)-\frac{8(x-a)}{ax}=0$ 提取公因式 $(x-a)$： $(x-a)\left(x+a-\frac{8}{ax}\right)=0$

由此可得方程的解满足： $x-a=0\text{或}x+a-\frac{8}{ax}=0$

• 显然， $x_1=a$ 是原方程的一个实数解。

再分析第二个因式对应的方程。两边同乘以 $ax$（由已知 $a>3$，且分母 $x\ne 0$）： $a{x}^2+a^{2}x-8=0$ 这是一个关于 $x$ 的一元二次方程。由于二次项系数 $a>3\ne 0$，计算其判别式： $\Delta =(a^2{)}^2-4\times a\times (-8)=a^4+32a$ 因为已知 $a>3$，所以 $a^4>0,32a>0$，从而有： $\Delta =a^4+32a>0$ 这说明该一元二次方程在实数范围内恒有两个互异的实数根，记为 $x_2$ 和 $x_3$。

根据韦达定理，由于两根之积 $\frac{-8}{a}<0$，说明这两个根一正一负，均不为 0，符合原方程 $x\ne 0$ 的定义域限制。

最后验证 $x_2,x_3$ 是否会与第一个根 $x_1=a$ 重合。 将 $x=a$ 代入方程 $a{x}^2+a^{2}x-8=0$ 中进行检验： $\text{左边}=a\cdot a^2+a^2\cdot a-8=2a^3-8$ 因为 $a>3$，所以 $2a^3>2\times 3^3=54$，由此可知： $2a^3-8⩾54-8=46\ne 0$ 这说明 $x=a$ 绝不是方程 $a{x}^2+a^{2}x-8=0$ 的根。

综上所述，原方程的三个根 $x_1,x_2,x_3$ 两两互不相等且均不为 0。 故当 $a>3$ 时，关于 $x$ 的方程 $f(x)=f(a)$ 必有三个互异的实数解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求解析式、两点间距离公式、高次方程的因式分解。
2. 核心方法：因式分解降次法。
3. 避坑指南：
   • 证明三个实数解时，切勿漏掉“不重合”的验证步。算出 $\Delta >0$ 只能说明后面有两根，但如果其中一根恰好等于 $a$，或者某根为 0（不符合定义域），总根数就会缩水。必须严格通过代入检验 $2a^3-8\ne 0$ 以及两根之积不为 0，才能构成逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考函数与方程交汇题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=x^2+\frac{8}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上的形状类似“对勾函数”的变体。求导可知其在 $(0,\sqrt[3]{4})$ 上递减，在 $(\sqrt[3]{4},+\infty )$ 上递增，在负半轴单调递增。当 $a>3>\sqrt[3]{4}$ 时，水平线 $y=f(a)$ 处于极小值点上方，其与负半轴分支必有一个交点，与正半轴的递减段、递增段（即 $x=a$ 处）各有一个交点，总共 3 个交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断