2004-上海卷理-17 解-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算。核心在于复数代数代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 已知复数 $z_1$ 满足 $(1+\text{i})z_1=-1+5\text{i}$， $z_2=a-2-\text{i}$，其中 $\text{i}$ 为虚数单位， $a\in \mathbf{R}$，若 $|z_1-\overline{z_2}|<|z_1|$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出复数 $z_1$：通过分式复数除法，分子分母同乘分母的共轭复数 $1-\text{i}$，化简出 $z_1$ 的代数形式。
2. 写出 $\overline{z_2}$ 并作差：根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变号）写出 $\overline{z_2}$，并计算出复数 $z_1-\overline{z_2}$ 的实部与虚部。
3. 模长代换解不等式：将两边的模长公式展开为根式形式，两边平方去掉根号，解关于 $a$ 的一元二次不等式。

✅【答案】

Success

$a$ 的取值范围为 $(1,7)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算复数 $z_1$ 由已知 $(1+\text{i})z_1=-1+5\text{i}$，得： $z_1=\frac{-1+5\text{i}}{1+\text{i}}$ 分子分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$： $z_1=\frac{(-1+5\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{-1+\text{i}+5\text{i}-5{\text{i}}^2}{1-{\text{i}}^2}$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入化简分子与分母： $z_1=\frac{-1+6\text{i}+5}{1+1}=\frac{4+6\text{i}}{2}=2+3\text{i}$ 计算 $z_1$ 的模长： $|z_1|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

• 第二步：求出 $\overline{z_2}$ 及 $z_1-\overline{z_2}$ 已知 $z_2=(a-2)-\text{i}$，其中 $a\in \mathbf{R}$。 根据共轭复数的定义，虚部符号取反： $\overline{z_2}=(a-2)+\text{i}$ 计算 $z_1-\overline{z_2}$： $z_1-\overline{z_2}=(2+3\text{i})-[(a-2)+\text{i}]$ 将实部与虚部分别合并： $z_1-\overline{z_2}=(2-a+2)+(3-1)\text{i}=(4-a)+2\text{i}$

• 第三步：由模长不等式求解 $a$ 计算复数 $z_1-\overline{z_2}$ 的模长： $|z_1-\overline{z_2}|=\sqrt{(4-a{)}^2+2^2}=\sqrt{(4-a{)}^2+4}$ 代入已知不等式 $|z_1-\overline{z_2}|<|z_1|$ 得： $\sqrt{(4-a{)}^2+4}<\sqrt{13}$ 两边同时平方： $(4-a{)}^2+4<13$ 展开并整理一元二次不等式： $16-8a+a^2+4<13⟹a^2-8a+7<0$ 十字相乘法因式分解： $(a-1)(a-7)<0$ 解得 $a$ 的取值范围为： $1<a<7$

答：$a$ 的取值范围为 $(1,7)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算法则、共轭复数的概念、复数模公式 $|x+y\text{i}|=\sqrt{x^2+y^2}$。
2. 核心方法：代数有理化归一法。
3. 避坑指南：
   • 不要弄错共轭复数的变号位置。已知 $z_2=a-2-\text{i}$，其虚部为 $-1$，因此其共轭复数 $\overline{z_2}$ 仅需将 $-\text{i}$ 变为 $+\text{i}$，前面的实部 $a-2$ 符号绝不能变。
   • 在计算复数减法 $(2+3\text{i})-(a-2+\text{i})$ 时，注意减去整个括号导致的去括号变号，实部应为 $2-a+2=4-a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考复数板块大题，考查复数基本代数运算的熟练度。
2. 结论推广: 在复平面上， $|z_1-\overline{z_2}|<|z_1|$ 具有明确的几何几何背景。其表示点 $\overline{z_2}$ 到定点 $z_1(2,3)$ 的距离严格小于点 $z_1$ 到原点的距离。由于 $\overline{z_2}=(a-2)+\text{i}$ 的纵坐标固定为 1，其轨迹为一条水平直线，本题实质上是求该水平直线截圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2<13$ 内部所对应的横坐标 $a$ 的投影范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1986-全国文-12 填-复数的运算