2004-上海卷理-16 单-统计图表

本题导读

本题考查数据图表分析与统计直觉，以及条件不充分性辨析。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：

表1：应聘人数排行榜前 5 个行业

行业名称	计算机	机械	营销	物流	贸易
应聘人数	215830	200250	154676	74570	65280

表2：招聘人数排行榜前 5 个行业

行业名称	计算机	营销	机械	建筑	化工
招聘人数	124620	102935	89115	76516	70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 ()

A. 计算机行业好于化工行业　　　　　B. 建筑行业好于物流行业

C. 机械行业最紧张　　　　　　　　　D. 营销行业比贸易行业紧张

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一指标：题目用同一行业的「应聘人数 ÷ 招聘人数」衡量就业形势，比值 $k$ 越小，说明岗位相对充裕，形势越好；$k$ 越大越紧张。
2. 看数据完整度：两张表各列 5 个行业，只有计算机、机械、营销三项在两张表里都出现，能算出确切比值；其余行业只有一个数。
3. 用「未上榜」放缩：某行业不在前 5 名之列，就意味着它的人数小于第 5 名的数值。这个不等式方向一旦确定，就能给 $k$ 卡出上界或下界，再判断哪个选项「一定」成立。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

记某行业的就业指标为 $k=\frac{\text{应聘人数}}{\text{招聘人数}}$ $k$ 越小，岗位相对越充裕，形势越好；$k$ 越大，竞争越激烈，形势越紧张。

先算数据齐全的三个行业

$k_{\text{计算机}}=\frac{215830}{124620}\approx 1.73,k_{\text{营销}}=\frac{154676}{102935}\approx 1.50,k_{\text{机械}}=\frac{200250}{89115}\approx 2.25$

再对缺数据的行业作放缩

表 1 是应聘人数的前 5 名，表 2 是招聘人数的前 5 名。某行业若只出现在一张表里，它在另一张表中的人数必然小于该表第 5 名的数值。

行业	已知	未知一项的放缩	$k$ 的范围
化工	招聘 $70436$	应聘 $<65280$	$k_{\text{化工}}<\frac{65280}{70436}\approx 0.93$
建筑	招聘 $76516$	应聘 $<65280$	$k_{\text{建筑}}<\frac{65280}{76516}\approx 0.85$
物流	应聘 $74570$	招聘 $<70436$	$k_{\text{物流}}>\frac{74570}{70436}\approx 1.06$
贸易	应聘 $65280$	招聘 $<70436$	$k_{\text{贸易}}>\frac{65280}{70436}\approx 0.93$

逐项判断

• A 项：由表得 $k_{\text{化工}}<0.93<1.73=k_{\text{计算机}}$，即计算机行业的比值严格更大、形势更紧张，是化工好于计算机。A 说反了，错。
• B 项：$k_{\text{建筑}}<0.85<1.06<k_{\text{物流}}$，即 $k_{\text{建筑}}<k_{\text{物流}}$ 恒成立，建筑行业形势一定好于物流行业。B 正确。
• C 项：$k_{\text{机械}}\approx 2.25$ 只是三个数据齐全行业中的最大值。物流的招聘人数只知道小于 $70436$，若它实际很小（例如 $10000$），则 $k_{\text{物流}}=7.46>2.25$，机械就不再是最紧张的。C 不能确定，错。
• D 项：$k_{\text{贸易}}>0.93$，其上限不确定。若贸易招聘人数为 $70000$，$k_{\text{贸易}}\approx 0.93<1.50$，营销更紧张；若为 $10000$，$k_{\text{贸易}}=6.53>1.50$，贸易更紧张。D 不能确定，错。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：统计数据的不完全性分析、利用排行榜特征确定未知数据的上下界。
2. 核心方法：不等式放缩夹逼法。
3. 避坑指南：
   • 这是一道极易因“主观直觉”而做错的题目。很多同学看到 (C) 选项中机械行业在已知的几个数里比值最大，就想当然地选了 C，忽略了物流、贸易等缺项行业由于分母（招聘人数）未知，可能存在极端的超大比值。
   • 必须通过未上榜的规则锁定边界。例如建筑未上应聘前5名，其应聘人数必低于第5名贸易的 $65280$；物流未上招聘前5名，其招聘人数必低于第5名化工的 $70436$。通过这种隐藏的不等式放缩，才能推出支撑 B 选项的铁证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2004年上海高考理科第16题。将日常社会的就业图表与应用数学中的分式不等式放缩完美结合。
2. 结论推广: 此类带有“前$N$名排行榜”的统计学问题，其破题的死穴永远在于利用第 $N$ 名的数据作为未上榜项的绝对上限。设排行榜末位为 $L$，则所有未上榜元素的量 $x$ 满足 $0⩽x<L$，借助该不等式即可完成各类定性选择题的精确严谨甄别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-05 单-分层抽样按比例
• 2006-湖南文-12 填-加权平均分