2004-上海卷理-14 单-诱导公式

本题导读

本题考查诱导公式，以及基本三角方程的解集。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 三角方程 $2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$ 的解集为 ()

A. $\left\{x|x=2k\pi +\frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　B. $\left\{x|x=2k\pi +\frac{5\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$

C. $\left\{x|x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　　　D. $\left\{x|x=k\pi +(-1{)}^k,k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用诱导公式化简：根据三角函数诱导公式中 $\frac{\pi }{2}$ 的“奇变偶不变，符号看象限”原则，将 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 转化为 $\cos x$。
2. 求解基本三角方程：将方程变形为 $\cos x=\frac{1}{2}$。
3. 写出通解：结合余弦函数的对称轴与周期性，写出在实数集 $\mathbf{Z}$ 上的标准双分支通解形式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简原方程 原方程为： $2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$ 根据诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，代入原方程得： $2\cos x=1$ 两边同时除以 2，得最简三角方程： $\cos x=\frac{1}{2}$

• 第二步：求出方程的通解 在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 内，满足 $\cos x=\frac{1}{2}$ 的特殊角为： $x=\frac{\pi }{3}\text{或}x=-\frac{\pi }{3}$ 由于余弦函数 $y=\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$，因此在整个定义域 $\mathbf{R}$ 上，所有满足条件的解需要加上周期的整数倍。 综合两个分支，方程的解集可以统一表示为： $x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3}(k\in \mathbf{Z})$

  写成集合形式为： $\left\{x|x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$。

综合上述，只有 (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$、余弦方程 $\cos x=a(|a|⩽1)$ 的通解结构为 $x=2k\pi \pm \arccos a$。
2. 核心方法：诱导公式化归法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆正弦方程与余弦方程的通解格式。正弦方程 $\sin x=a$ 的通解多采用 $x=k\pi +(-1{)}^k\arcsin a$ 的单分支形式表达（如选项 D 的结构）；而余弦方程 $\cos x=a$ 的通解必须是正负双分支结构 $2k\pi \pm \alpha$（如选项 C），极易因看错函数类型导致误选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考三角函数板块基础选择题，属于大纲中对基本三角方程求解能力的标准化考查。
2. 结论推广: 一般地，对于最简三角方程：
   • $\cos x=\cos \alpha ⟹x=2k\pi \pm \alpha (k\in \mathbf{Z})$；
   • $\sin x=\sin \alpha ⟹x=2k\pi +\alpha \text{或}x=2k\pi +\pi -\alpha ⟹x=k\pi +(-1{)}^k\alpha (k\in \mathbf{Z})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1989-上海-03 填-三角方程的解集
• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明
• 1986-广东理-34 填-三角方程的解集