2004-上海卷理-13 单-空间中直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查线面。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 在下列关于直线 $l$、 $m$ 与平面 $\alpha$、 $\beta$ 的命题中，真命题是 ()

A. 若 $l\subset \beta$ 且 $\alpha \perp \beta$，则 $l\perp \alpha$　　　　　　　　　　B. 若 $l\perp \beta$ 且 $\alpha \parallel \beta$，则 $l\perp \alpha$

C. 若 $l\perp \beta$ 且 $\alpha \perp \beta$，则 $l\parallel \alpha$　　　　　　　　　　D. 若 $\alpha \cap \beta =m$ 且 $l\parallel m$，则 $l\parallel \alpha$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析选项 A：考查面面垂直的性质定理。要使面内的一条直线垂直于另一个平面，这条直线必须垂直于两平面的交线。若无此限制，直线可以与交线平行或斜交，此时直线与另一个平面平行或斜交。
2. 分析选项 B：考查垂直与平行的传递性质。由于 $\alpha \parallel \beta$，说明两个平面在空间中方向一致。若直线 $l$ 垂直于其中一个平面 $\beta$，它必然也会垂直于另一个与之平行的平面 $\alpha$。
3. 分析选项 C：考查线面垂直与面面垂直的组合关系。一条直线 $l$ 垂直于平面 $\beta$，另一个平面 $\alpha$ 也垂直于平面 $\beta$。此时直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系可能是平行，也可能 $l$ 包含于平面 $\alpha$ 内。
4. 分析选项 D：考查线面平行的判定定理。已知 $l\parallel m$ 且 $m=\alpha \cap \beta ⟹m\subset \alpha$。若一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线平行于此平面或包含于该平面内。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 逐一分析各个选项的正确性：

• 对于 (A) 选项： 面面垂直的性质定理指出：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 本题中仅已知 $l\subset \beta$，并未限定 $l$ 垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 的交线。 反例：在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$。直线 $A_1{D}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，但 $A_1{D}_1\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，并不垂直。 故 (A) 为假命题。

• 对于 (B) 选项： 根据空间几何定理，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；同理，如果一个直线 $l$ 垂直于两个平行平面 $\alpha ,\beta$ 中的一个平面 $\beta$，由于 $\alpha \parallel \beta$，该直线 $l$ 必定也垂直于另一个平面 $\alpha$。 故 (B) 为真命题。

• 对于 (C) 选项： 已知 $l\perp \beta$，且 $\alpha \perp \beta$。 反例：在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，令平面 $ABCD$ 为 $\beta$。直线 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABCD$，且侧面 $AB{B}_1{A}_1\perp$ 平面 $ABCD$（令侧面为 $\alpha$）。显然，直线 $A{A}_1$ 就在侧面 $\alpha$ 内，即 $l\subset \alpha$，不满足 $l\parallel \alpha$ 的结论。 故 (C) 为假命题。

• 对于 (D) 选项： 已知 $\alpha \cap \beta =m$，则必有 $m\subset \alpha$。又已知 $l\parallel m$。 根据线面平行的判定定理，若 $l\parallel m$ 且 $m\subset \alpha$，则 $l\parallel \alpha$ 或 ** $l\subset \alpha$**。 本题未排除 $l$ 在平面 $\alpha$ 内的可能性。 故 (D) 为假命题。

综合上述，只有 (B) 选项正确。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线面垂直性质、线面平行判定定理中的边界约束（如“线在面内”的漏判）。
2. 核心方法：长方体模型反例验证法。
3. 避坑指南：
   • 在判定线面平行时，千万不能漏掉“线在面内”这一特殊位置。选项 D 是一大经典陷阱，只要直线 $l$ 恰好在平面 $\alpha$ 内，由于 $l\parallel m$，它依旧能满足题干的所有前提条件，但此时结论 $l\parallel \alpha$ 彻底失效。
   • 牢记面面垂直性质定理中的三要素：①线在面内，②线垂直于交线 $⟹$ ③线垂直于另一个面。缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高中立体几何多命题客观题，属课本基础定理形态的逻辑重组。
2. 结论推广: 解决此类空间位置关系选择题的“万能工业模型”是标准长方体（或正方体）框架。将抽象的 $l,m,\alpha ,\beta$ 分别赋予长方体的棱和面，90% 以上的错误命题均能在长方体的长、宽、高及各侧面上找到完美的物理反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题
• 1987-广东文-22 单-面面平行的判定