2004-上海卷理-05 填-函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数图象与不等式的关系。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 设奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-5,5]$. 若当 $x\in [0,5]$ 时， $f(x)$ 的图象如图所示，则不等式 $f(x)<0$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知区间 $[0,5]$ 上的解：观察所给图象，当 $x\in [0,5]$ 时，图象在 $x$ 轴下方的部分对应的自变量范围是 $x\in (2,5]$.
2. 利用奇偶性分析负半轴区间 $[-5,0)$：因为 $f(x)$ 是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称。当正半轴图象在 $x$ 轴上方时，对称过去在负半轴必然在 $x$ 轴下方。由此可以通过对折或公式 $f(x)<0⟺f(-x)>0$ 确定负半轴上的解。
3. 合并区间：将正负两部分的解集汇总，写成最终的区间或不等式形式。

✅【答案】

Success

$(-2,0)\cup (2,5]$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定正半轴 $x\in [0,5]$ 上的解集 由题目给出的 $x\in [0,5]$ 时的函数图象可知，图象与 $x$ 轴交于 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。 当 $f(x)<0$ 时，图象位于 $x$ 轴下方。 明显的，在正半轴区域，满足条件的自变量范围为： $x\in (2,5]$

• 第二步：利用中心对称求负半轴 $x\in [-5,0)$ 上的解集 因为 $f(x)$ 是定义在 $[-5,5]$ 上的奇函数，所以其图象关于原点 $O$ 成中心对称。

  and the reflected negative interval [-5,0]]

  根据中心对称的几何性质：

  • 正半轴上 $(0,2)$ 段图象在 $x$ 轴上方（即 $f(x)>0$），对称到负半轴 $(-2,0)$ 段图象必然在 $x$ 轴下方（即 $f(x)<0$）。
  • 正半轴上 $(2,5]$ 段图象在 $x$ 轴下方（即 $f(x)<0$），对称到负半轴 $[-5,-2)$ 段图象必然在 $x$ 轴上方（即 $f(x)>0$）。

  因此，在负半轴区域，满足 $f(x)<0$ 的自变量范围为： $x\in (-2,0)$

• 第三步：汇总合并解集 综合正、负两个区间的讨论结果，不等式 $f(x)<0$ 的解集为： $(-2,0)\cup (2,5]$

答：$(-2,0)\cup (2,5]$ （或写成 $-2<x<0$ 或 $2<x⩽5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数图象的原点对称性、通过图象高低判断函数值正负。
2. 核心方法：数形结合中心对称法。
3. 避坑指南：
   • 注意区间端点的开闭状态。在 $x=2$ 和 $x=-2$ 处，函数值 $f(\pm 2)=0$，由于题目要求 $f(x)<0$（严格小于），因此 $\pm 2$ 必须是开端点；而在定义域边界 $x=5$ 处，由图象可知 $f(5)<0$，属于严格小于零的范围，故 5 必须是闭端点（由于对称性， $f(-5)>0$，因此 $-2$ 是开端点）。
   • 不要漏掉负半轴的区间。部分同学容易只看图写出 $(2,5]$ 而忽略了奇函数在对称区间上的表现。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考函数基本性质考查题。
2. 结论推广: 一般地，若 $f(x)$ 是奇函数，则不等式 $f(x)<0$ 的解集关于原点与不等式 $f(x)>0$ 的解集互为相反数。即若在正半轴 $f(x)<0$ 的解为 $(a,b]$，则在负半轴对应的 $f(x)>0$ 的解必为 $[-b,-a)$；反之，若在正半轴 $f(x)>0$ 的解为 $(0,a)$，则在负半轴对应的 $f(x)<0$ 的解必为 $(-a,0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性