2004-上海卷理-03 填-集合的基本运算

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及对数方程的求解。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 设集合 $A=\{5,{\log }_2(a+3)\}$，集合 $B=\{a,b\}$. 若 $A\cap B=\{2\}$，则 $A\cup B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析交集确定参数 $a$：根据 $A\cap B=\{2\}$可知，元素 $2\in A$ 且 $2\in B$。观察集合 $A=\{5,{\log }_2(a+3)\}$，显然其元素 $5\ne 2$，故必有 ${\log }_2(a+3)=2$，由此可解出 $a$。
2. 分析集合 $B$ 确定参数 $b$：将求得的 $a$ 代入集合 $B=\{a,b\}$。因为已知 $2\in B$，且根据集合中元素的互异性，对比参数 $a$ 的值与 $2$ 的关系，可确定 $b$ 的值。
3. 计算并集 $A\cup B$：将所有元素汇总，用列举法写出两集合的并集。

✅【答案】

Success

$\{1,2,5\}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用交集性质求出 $a$ 因为 $A\cap B=\{2\}$，根据交集的定义，必有 $2\in A$。 已知 $A=\{5,{\log }_2(a+3)\}$，由于 $5\ne 2$， 所以： ${\log }_2(a+3)=2$ 根据对数的定义，转化为指数式： $a+3=2^2⟹a+3=4⟹a=1$

• 第二步：确定集合 $A$ 和 $B$ 的具体元素 将 $a=1$ 代入两集合中： 对于集合 $A$： ${\log }_2(1+3)={\log }_{2}4=2$，则 $A=\{5,2\}$。 对于集合 $B$： $B=\{1,b\}$。 由于 $A\cap B=\{2\}$，同样必有 $2\in B$。 而在集合 $B=\{1,b\}$ 中，显然 $1\ne 2$， 所以： $b=2$ 此时集合 $B=\{1,2\}$，其中的元素 $1$ 和 $2$ 互不相同，符合集合元素的互异性。

• 第三步：求并集 $A\cup B$ 由上述分析可知： $A=\{2,5\}$ $B=\{1,2\}$ 根据并集的定义，将两集合的元素合并并去掉重复元素： $A\cup B=\{1,2,5\}$

答：$\{1,2,5\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：交集与并集的定义、对数方程的解法、集合中元素的互异性。
2. 核心方法：定元素方程代换法。
3. 避坑指南：
   • 求得参数后必须注意核对集合中元素的互异性。本题中算得 $a=1,b=2$，对应的集合 $B=\{1,2\}$ 元素各不相同。如果遇到某些题目中解出参数导致集合内出现重复元素（如 $B=\{2,2\}$），则该组解必须舍去。
   • 最终要求的是并集 $A\cup B$，写答案时切勿因看错题目而错写成参数 $a$ 或 $b$ 的值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考集合基本运算填空题，考查对初等代数方程与集合逻辑关系的融合。
2. 结论推广: 一般地，若有限非空集合 $A,B$ 满足 $A\cap B=\{x_0\}$，则必有 $x_0\in A$ 且 $x_0\in B$。通过建立对应隐含的代数方程解出未知数，再利用 $A\cup B=A+B-(A\cap B)$ 的元素计数特征可直接给出并集形态。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 1988-上海-22 解-集合的交集