2004-上海卷文-12 填-数列基本量

本题导读

本题考查等比数列的确定条件，以及新定义情境下的逻辑推理。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的”基本量”．设 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的无穷等比数列，下列 $\{a_n\}$ 的四组量中，一定能成为该数列”基本量”的是第 $\underline{}$组.（写出所有符合要求的组号） ①$S_1$ 与 $S_2$；②$a_2$ 与 $S_3$；③$a_1$ 与 $a_n$；④$q$ 与 $a_n$. 其中 $n$ 为大于 $1$ 的整数，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①$S_1=a_1$，$S_2=a_1+a_2$ 得 $a_2$，$a_1\ne 0$ 时 $q=a_2/a_1$；$a_1=0$ 时各项为零也唯一。
2. ②反例 $a_2=1,S_3=4$：$a_1+q=3$ 且 $a_{1}q=1$ 有两组解；③反例 $a_1=a_3=1$ 时 $q=\pm 1$。
3. ④$q,a_n$ 给定，$a_1=a_n/q^{n-1}$ 唯一。填①④。

✅【答案】

Success

①④

✍【详细解析】

Abstract

对第①组，由 $S_1=a_1$、$S_2=a_1+a_2$，可得 $a_1=S_1$、$a_2=S_2-S_1$.当 $a_1\ne 0$ 时 $q=a_2/a_1$，数列唯一确定；当 $a_1=0$ 时等比数列各项均为零，同样唯一确定。第②组不能唯一确定：取 $a_2=1$、$S_3=4$，则 $a_{1}q=1$ 且 $a_1+q=3$，$a_1,q$ 可为 $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ 并可交换，得两个不同数列。第③组也不能保证唯一：当 $n=3$、$a_1=a_3=1$ 时，公比可为 $q=1$ 或 $q=-1$.对第④组，由 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 得 $a_1=\frac{a_n}{q^{n-1}}$，首项和公比都确定，数列唯一确定。故填①④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列基本量
2. 核心方法：①由 $S_1,S_2$ 得 $a_1,a_2$ 定 $q$（$a_1\ne 0$；$a_1=0$ 时各项为零也唯一）；④由 $q,a_n$ 得 $a_1=a_n/q^{n-1}$；②③均有反例；故填①④
3. 避坑指南：②取 $a_2=1,S_3=4$ 有两组 $(a_1,q)$；③取 $a_1=a_3=1$ 时 $q=\pm 1$ 不唯一；“一定能”须无反例

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等比数列的确定条件，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：确定等比数列需两个独立量（或特殊退化情形）；对每组量验证”能否唯一解出 $a_1,q$“，构造反例排除

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-01 单-等差数列基本量

• 2007-大纲Ⅰ文-16 填-等比数列基本量运算

• 2008-大纲Ⅰ文-07 单-等比数列基本量