2003-辽宁卷-22 解-直线的方向向量与斜率

本题导读

本题核心考查根据已知解析条件求解动点轨迹方程，以及椭圆几何定义的逆向应用。解题关键在于利用两直线的方向向量列出方程组，消去运动参数 $\lambda$ 建立交点 $P$ 的二元二次曲线轨迹方程，再结合椭圆定义对常数 $a$ 的不同取值范围进行严密的分情况讨论。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 已知常数 $a>0$，向量 $\vec{c}=(0,a)$，$\vec{i}=(1,0)$. 经过原点 $O$ 以 $\vec{c}+\lambda \vec{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0,a)$ 以 $\vec{i}-2\lambda \vec{c}$ 为方向向量的直线相交于 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$. 试问：是否存在两个定点 $E、F$，使得 $|PE|+|PF|$ 为定值. 若存在，求出 $E、F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出直线方向向量坐标：

   • 第一条直线的方向向量为 ${\vec{v}}_1=\vec{c}+\lambda \vec{i}=(\lambda ,a)$。
   • 第二条直线的方向向量为 ${\vec{v}}_2=\vec{i}-2\lambda \vec{c}=(1,-2\lambda a)$。

2. 构建交点方程组：设交点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。利用直线点斜式或向量共线关系，写出两条直线的代数方程。

3. 参数消元求轨迹：分 $\lambda \ne 0$ 与 $\lambda =0$ 讨论。在方程组中消去动态参数 $\lambda$，得到动点 $P$ 的非线性二次标准型方程。

4. 分类匹配几何定义：将方程化为标准圆锥曲线形式。由于二次项系数的大小取决于常数 $a$，必须对 $a$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的大小关系进行分类讨论，从而准确定位椭圆的焦点 $E,F$ 与长轴。

✅【答案】

Success

存在。当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E\left(0,\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$，$F\left(0,\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$，定值 $a$；当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E,F$ 重合于 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$，定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；当 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E\left(-\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$，$F\left(\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$，定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据向量的线性坐标运算，求得两条直线的方向向量分别为： ${\vec{v}}_1=\vec{c}+\lambda \vec{i}=(0,a)+\lambda (1,0)=(\lambda ,a)$ ${\vec{v}}_2=\vec{i}-2\lambda \vec{c}=(1,0)-2\lambda (0,a)=(1,-2\lambda a)$

设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。

第一步：求动点 $P$ 的轨迹方程

• 当 $\lambda \ne 0$ 时： 经过原点 $O(0,0)$ 且以 ${\vec{v}}_1=(\lambda ,a)$ 为方向向量的直线 $l_1$ 方程为： $\frac{y}{x}=\frac{a}{\lambda }⟹\lambda =\frac{ax}{y}\text{(1)}$

  经过定点 $A(0,a)$ 且以 ${\vec{v}}_2=(1,-2\lambda a)$ 为方向向量的直线 $l_2$ 方程为： $\frac{y-a}{x}=\frac{-2\lambda a}{1}⟹y-a=-2\lambda ax\text{(2)}$

  将 ① 式代入 ② 式中以消去参数 $\lambda$： $y-a=-2\cdot \left(\frac{ax}{y}\right)\cdot ax⟹y-a=-\frac{2a^2{x}^2}{y}$

  方程两边同乘以 $y$（由 ① 知 $y\ne 0$）： $y^2-ay=-2a^2{x}^2⟹2a^2{x}^2+y^2-ay=0$

  对 $y$ 项进行配方整理： $2a^2{x}^2+{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$

  两边同除以右侧常数 $\frac{a^2}{4}$，化为圆锥曲线标准方程： $\frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2}{\frac{a^2}{4}}=1\text{(3)}$

• 当 $\lambda =0$ 时： 方向向量分别为 ${\vec{v}}_1=(0,a)$ 和 ${\vec{v}}_2=(1,0)$。 此时直线 $l_1$ 为 $y$ 轴（$x=0$），直线 $l_2$ 为平行于 $x$ 轴的直线 $y=a$。 两直线交点为 $P(0,a)$。代入方程 ③ 验算，方程显然成立。

综上所述，动点 $P$ 的几何轨迹方程为： $\frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2}{\frac{a^2}{4}}=1$ 这是一个中心位于 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$ 的椭圆。根据椭圆第一定义，必然存在两个定点 $E,F$（即该椭圆的两个焦点），使得 $|PE|+|PF|$ 为定值（该定值等于长轴长 $2A$）。

第二步：根据常数 $a$ 的取值对焦点坐标进行分类讨论

由于分母中 $\frac{a^2}{4}$ 与 $\frac{1}{8}$ 的相对大小决定了椭圆长轴的方向，需要对 $a$ 的范围进行分类讨论：

• 情况 1：当 $\frac{a^2}{4}>\frac{1}{8}$，即 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 此时椭圆的长轴平行于 $y$ 轴。 几何参数分别为： $A^2=\frac{a^2}{4}⟹A=\frac{a}{2}$， $B^2=\frac{1}{8}$。 计算半焦距 $C$： $C=\sqrt{A^2-B^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}$ 定值为长轴长： $2A=2\times \frac{a}{2}=a$。 焦点由中心 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$ 沿 $y$ 轴方向上下平移 $C$ 得到： $E\left(0,\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right),F\left(0,\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$

• 情况 2：当 $\frac{a^2}{4}=\frac{1}{8}$，即 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 此时方程化为： $\frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{{\left(y-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2}{\frac{1}{8}}=1⟹x^2+{\left(y-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2=\frac{1}{8}$。 轨迹为一个以 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ 为圆心， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 为半径的圆。 根据圆的定义，两焦点重合于圆心，定值等于直径： $2A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 两定点坐标为： $E,F\text{ 重合于点 }\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

• 情况 3：当 $\frac{a^2}{4}<\frac{1}{8}$，即 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 此时椭圆的长轴平行于 $x$ 轴。 几何参数相应调换：长轴平方 $A^{\prime 2}=\frac{1}{8}⟹A^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{4}$，短轴平方 $B^{\prime 2}=\frac{a^2}{4}$。 定值为新长轴长： $2A^{\prime }=2\times \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 计算新半焦距 $C^{\prime }$： $C^{\prime }=\sqrt{A^{\prime 2}-B^{\prime 2}}=\sqrt{\frac{1}{8}-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4}$ 焦点由中心 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$ 沿 $x$ 轴方向左右平移 $C^{\prime }$ 得到： $E\left(-\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right),F\left(\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方向向量与直线斜率的转换公式 $k=\frac{v_y}{v_x}$，通过消参法求解动点二元二次方程，椭圆定义中焦点与长轴几何位置的判定。
2. 核心方法：参数消元法、分类讨论法。
3. 避坑指南：

   • 必须对参数 $\lambda =0$ 导致分母为 $0$ 的边界情况进行独立代回检验。

   • 极易漏掉对常数 $a$ 的分类讨论。必须明确，椭圆哪个轴是长轴完全取决于分母 $\frac{a^2}{4}$ 与 $\frac{1}{8}$ 的相对大小。若直接默认为 $y$ 轴方向长轴，会导致在 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 范围内计算半焦距时根号下出现负数，同时焦点坐标的平移轴线（应为 $x$ 轴）也会选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解析几何板块中的高难度压轴大题，重点考查代数消参基本功以及多变量边界划分下的逻辑严密性。
2. 结论推广: 本题两直线的斜率分别为 $k_1=\frac{a}{\lambda }$ 和 $k_2=-2\lambda a$。两斜率相乘满足： $k_1\cdot k_2=\frac{a}{\lambda }\cdot (-2\lambda a)=-2a^2(\text{定值})$ 这在高等数学中属于解析几何斜率积定值定理的平移模型。任何从两个定点出发且斜率乘积为负常数的直线交点，其几何轨迹在仿射变换下恒表现为标准椭圆结构。通过调节乘积常数与定点位置，可实现各类二次曲线的参数化映射表达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量
• 1982-全国文-03 解-方程表示曲线与作图