2003-辽宁卷-16 填-空间异面直线的垂直判定

本题导读

本题核心考查四面体（三棱锥）中对棱垂直的判定命题。解题关键在于熟练运用空间向量的线性运算与数量积公式，将空间几何中的线线垂直关系（$BC\perp AD$）转化为向量数量积为零（$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=0$）的代数证明，逐一审视各命题。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 对于四面体 $ABCD$，给出下列四个命题： ① 若 $AB=AC$，$BD=CD$，则 $BC\perp AD$； ② 若 $AB=CD$，$AC=BD$，则 $BC\perp AD$； ③ 若 $AB\perp AC$，$BD\perp CD$，则 $BC\perp AD$； ④ 若 $AB\perp CD$，$AC\perp BD$，则 $BC\perp AD$. 其中真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一目标向量化：要判定 $BC\perp AD$ 是否成立，即判定 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=0$。根据向量减法拆项， $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，目标等价于验证 $(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$。

2. 分析命题 ①：利用等腰三角形中线的性质。取 $BC$ 中点 $E$，连结 $AE,DE$，通过线面垂直的性质进行几何论证。

3. 分析命题 ②：此为对棱相等的“等腰四面体”。可构造补形正方体，或通过向量模长等式展开进行代数校验。

4. 分析命题 ③：通过向量坐标系或数量积展开，验证已知垂直关系是否能合流推导出目标数量积。

5. 分析命题 ④：利用三垂线定理或空间向量的基本恒等式 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 进行严格推导。

✅【答案】

Success

$\text{(1)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

① 命题 ① 证明： 取 $BC$ 的中点 $E$，连结 $AE,DE$。 因为 $AB=AC$， $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $AE\perp BC$。 因为 $BD=CD$， $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $DE\perp BC$。 因为 $AE\cap DE=E$，且 $AE,DE\subset \text{平面 }ADE$， 根据线面垂直的判定定理，可得 $BC\perp \text{平面 }ADE$。 又因为 $AD\subset \text{平面 }ADE$，所以 $BC\perp AD$。 故 ① 是真命题。

② 命题 ② 校验： 已知 $AB=CD$, $AC=BD$，这属于对棱相等的等腰四面体。 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$。则 $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}$， $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}$。 由模长平方相等：

• $A{B}^2=C{D}^2⟹|\vec{b}{|}^2=|\vec{d}-\vec{c}{|}^2=|\vec{d}{|}^2+|\vec{c}{|}^2-2\vec{c}\cdot \vec{d}$ （A式）
• $A{C}^2=B{D}^2⟹|\vec{c}{|}^2=|\vec{d}-\vec{b}{|}^2=|\vec{d}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{b}\cdot \vec{d}$ （B式）

（A式）-（B式）得： $|\vec{b}{|}^2-|\vec{c}{|}^2=|\vec{c}{|}^2-|\vec{b}{|}^2-2\vec{c}\cdot \vec{d}+2\vec{b}\cdot \vec{d}$ $2|\vec{b}{|}^2-2|\vec{c}{|}^2=2\vec{d}\cdot (\vec{b}-\vec{c})⟹|\vec{b}{|}^2-|\vec{c}{|}^2=\vec{d}\cdot \overrightarrow{CB}$

而目标向量积 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=(\vec{c}-\vec{b})\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{b}\cdot \vec{d}$。 由上式知 $\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{b}\cdot \vec{d}=|\vec{c}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$。该值仅当 $AC=AB$ 时才为 0。 本题未限定 $AB=AC$，故 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}\ne 0$， $BC$ 与 $AD$ 不一定垂直。 故 ② 是假命题。

③ 命题 ③ 校验： 已知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 且 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}=0$。 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=|\overrightarrow{AD}{|}^2-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 由于 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，上式化为： $|\overrightarrow{AD}{|}^2-\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=0$ 无法由此独立推导出 $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0$。 （例如：构建一个底面为直角三角形、顶点向外倾斜的特殊三棱锥即可作为反例）。 故 ③ 是假命题。

④ 命题 ④ 证明： 在任意四面体 $ABCD$ 中，恒存在如下关于三组对棱的空间向量基本恒等式： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

已知 $AB\perp CD⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$； 已知 $AC\perp BD⟹\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=0$。 将这两项代入恒等式中： $0+0+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 因此必有 $BC\perp AD$。 故 ④ 是真命题。

综上所述，所有真命题的序号为：①④。

最终答案：①④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的几何判定定理，空间任意四面体三组对棱向量积零和恒等式，等腰四面体（模型补形为长方体）的几何特征。
2. 核心方法：空间向量数量积法。
3. 避坑指南：

   • 命题 ② 的等腰四面体性质极具迷惑性，容易主观误认为对棱相等则对棱垂直。必须明确，等腰四面体补形成长方体后，对棱对应的只是长方体各面上的对角线，只有当长方体各面为正方形（即补形为正方体）时，面对角线才互相垂直。

   • 命题 ④ 的证明如果不用向量恒等式，需要作高线通过三垂线定理逐步转化，过程极其繁琐且极易因线条重叠导致逻辑混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何中的多命题组合填空题，考查空间异面直线垂直的判定。
2. 结论推广: 命题 ④ 所涉及的结构在空间几何中被称为直角四面体。该类四面体满足：只要有两组对棱互相垂直，第三组对棱就必然互相垂直；此时四面体的四条高线相交于同一点（称为四面体的垂心）。这是平面三角形垂心定理在空间中的自然推广。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1987-广东文-22 单-面面平行的判定
• 1987-广东理-17 单-面面平行的判定