2003-辽宁卷-08 单-正方体的几何性质

本题导读

本题核心考查空间想象力以及组合几何体体积的计算方法。解题关键在于识别出正方体各面中心连线所构成的多面体是一个对称的正八面体，并通过“上下对拼”的几何视点将其拆分为两个完全相同的正四棱锥进行体积求解。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()

A. $\frac{a^3}{3}$　　　　　　B. $\frac{a^3}{4}$　　　　　　C. $\frac{a^3}{6}$　　　　　　D. $\frac{a^3}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别空间几何形态：正方体有 6 个面，每个面的中心连线构成的立体图形是一个标准的正八面体。

2. 利用对称性进行切割：该正八面体关于正方体的水平中截面（过前后左右 4 个侧面中心的平面）完全对称。因此，可以将正八面体沿其中央正方形截面切开，拆分为两个完全相同的正四棱锥。

3. 确定几何要素的度量值：

   • 底面正方形：四侧面的中心连接形成底面正方形，其对角线长等于正方体的棱长 $a$。
   • 高：正四棱锥的顶点（即顶面中心）到底面的垂直距离等于正方体棱长的一半，即 $h=\frac{a}{2}$。

4. 公式代入求和：利用棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 求出一个四棱锥的体积，乘以 2 即可得到八面体总体积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

正方体共有 6 个面，各面中心相连构成的多面体为正八面体。

将该正八面体沿水平方向的中心中截面切开，可将其视为两个上下对称、底面完全重合的正四棱锥对拼而成。

第一步：求中间共有底面正方形的面积 $S$ 正八面体中间的四边形是由正方体前后左右四个侧面的中心依次连线而成的。 该四边形是一个正方形，其两条对角线分别连接了正方体相对的两个侧面中心。 因此，该正方形的对角线长等于正方体的棱长： $d=a$

已知对角线长为 $d$ 的正方形面积计算通式为 $S=\frac{1}{2}{d}^2$，代入可得底面积为： $S=\frac{1}{2}{a}^2$

第二步：求单个正四棱锥的高 $h$ 正四棱锥的顶点为正方体的上底面（或下底面）中心，底面位于正方体的中心水平面上。 因此，单个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半： $h=\frac{a}{2}$

第三步：计算正八面体的总体积 $V$ 根据棱锥体积公式，单个正四棱锥的体积为： $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}{a}^2\right)\times \left(\frac{a}{2}\right)=\frac{a^3}{12}$

整个正八面体由两个这样的正四棱锥组合而成，故总体积为： $V=2V_{\text{锥}}=2\times \frac{a^3}{12}=\frac{a^3}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体面中心对偶几何体的空间形态（正方体的对偶多面体是正八面体），正方形对角线面积公式，四棱锥体积通式。
2. 核心方法：割补对称法。
3. 避坑指南：

   • 极易在计算中间正方形底面积时，误将正方体棱长 $a$ 当作正方形的边长（错记为 $S=a^2$），从而错选 A。要明确 $a$ 是正方形的对角线长，其边长实为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

   • 最终求得单个锥体体积后切记要乘以 2，防止漏掉下半部分而错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何中经典的“多面体切接与组合”常规选择题。正方体（6面8顶点）与正八面体（8面6顶点）互为对偶多面体。
2. 结论推广:
   • 推广 1：若正方体的棱长为 $a$，则其内部面中心构成的内接正八面体体积恒为： $V_{\text{内}}=\frac{1}{6}{a}^3$（即占原正方体体积的 $\frac{1}{6}$）。
   • 推广 2：反过来，若一个正八面体的棱长为 $L$，连接其各面中心所构成的内接正方体，其体积恒为： $V_{\text{方}}=\frac{2\sqrt{2}}{27}{L}^3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-06 解-正方体截角与异面直线角
• 1985-全国文-01 单-正方体内四面体的体积
• 1952-全国-11 填-直圆锥体积