2003-辽宁卷-05 单-分段函数的定义与性质

本题导读

本题核心考查分段函数不等式的求解。解题关键在于根据自变量 $x_0$ 的取值范围，将不等式 $f(x_0)>1$ 拆分为两个相互独立的代数不等式组，分别求解后再取并集。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}-1,& x\le 0\\ x^{\frac{1}{2}},& x>0\end{array}$，若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　B. $(-1,+\infty )$　C. $(-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（分类讨论边界）：由于 $f(x)$ 是分段函数，需要对 $x_0$ 属于不同的定义域区间（$x_0\le 0$ 与 $x_0>0$）进行分类讨论。

2. 第二步逻辑（求解各段不等式）：

   • 当 $x_0\le 0$ 时，代入第一段解析式，求解指数不等式 $2^{-x_0}-1>1$。
   • 当 $x_0>0$ 时，代入第二段解析式，求解幂函数不等式 $x_0^{\frac{1}{2}}>1$。

3. 第三步逻辑（求并集汇总）：分别将两段解出的范围与各自的区条件取交集，最后将两段的最终有效取值范围进行合并（求并集）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据分段函数的定义，将不等式 $f(x_0)>1$ 分为以下两种情况讨论：

情况 1：当 $x_0\le 0$ 时 此时函数解析式为 $f(x_0)=2^{-x_0}-1$，代入不等式得： $2^{-x_0}-1>1$ $2^{-x_0}>2$

因为底数 $2>1$，指数函数单调递增，故有： $-x_0>1⟹x_0<-1$

结合前提条件 $x_0\le 0$，取交集可得： $x_0\in (-\infty ,-1)$

情况 2：当 $x_0>0$ 时 此时函数解析式为 $f(x_0)=x_0^{\frac{1}{2}}$，代入不等式得： $x_0^{\frac{1}{2}}>1$

两边同时平方以消去指数 $\frac{1}{2}$： $x_0>1^2⟹x_0>1$

结合前提条件 $x_0>0$，取交集可得： $x_0\in (1,+\infty )$

综合汇总结论： 将上述两种情况得到的取值范围取并集，得到 $x_0$ 的完整取值范围为： $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数“分段处理”的基本原则，同底数指数不等式的基本解法，幂函数图象与单调性。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：

   • 解第一段指数不等式时，容易把负号算错：由 $2^{-x_0}>2^1$ 得到 $-x_0>1$，两边变号时切记要改变不等号的方向，防止错算成 $x_0>-1$。

   • 最终结果是各段解集的并集，不可错解为交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于函数与不等式板块中的基础常规选择题，直接考查教材中关于“分段函数”和“基本初等函数不等式”的综合代数求解能力。
2. 结论推广: 对于任意分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in A\\ h(x),& x\in B\end{array}$，求解不等式 $f(x)>k$ 的标准代数映射模型为： $\{x\mid g(x)>k\text{ 且 }x\in A\}\cup \{x\mid h(x)>k\text{ 且 }x\in B\}$ 该分类并集模型是处理分段不等式问题的通用方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形