2003-辽宁卷-03 单-复数的代数四则运算

本题导读

本题核心考查复数的代数四则运算。解题关键在于先利用完全平方公式展开分母，再通过分母实数化（分子与分母同乘以分母的共轭复数）完成复数代数式的化简。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） $\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2}=$()

A. $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$　　B. $-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$　　C. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$　　D. $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一：代数四则运算法
  1. 分母完全平方展开：利用公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 以及 ${\text{i}}^2=-1$，将分母 $(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2$ 展开并化简为标准代数形式 $a+b\text{i}$。
  2. 分母实数化：分式分子与分母同乘以分母的共轭复数，消去分母中的虚部，提取实部与虚部。
• 方法二：三角形式（指数形式）运算法

  1. 将分子 $1-\sqrt{3}\text{i}$ 和分母基数 $\sqrt{3}+\text{i}$ 分别转化为复数的三角形式（或指数形式 $r{\text{e}}^{\text{i}\theta }$）。

  2. 利用复数乘除法的模长与幅角运算法则快速求出结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

采用**方法一（代数四则运算法）**进行推导：

第一步：化简分母 利用完全平方公式展开分母： $(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+2\sqrt{3}\text{i}+{\text{i}}^2$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入可得： $(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2=3+2\sqrt{3}\text{i}-1=2+2\sqrt{3}\text{i}$

第二步：代入原分式进行分母实数化 将化简后的分母代入原式： $\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{2+2\sqrt{3}\text{i}}$

分子与分母同时约去常数 2，简化计算： $\frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{2(1+\sqrt{3}\text{i})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\sqrt{3}\text{i}}{1+\sqrt{3}\text{i}}$

分子与分母同乘以分母的共轭复数 $1-\sqrt{3}\text{i}$： $\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-\sqrt{3}\text{i})(1-\sqrt{3}\text{i})}{(1+\sqrt{3}\text{i})(1-\sqrt{3}\text{i})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^2}{1^2-(\sqrt{3}\text{i}{)}^2}$

分别计算分子与分母的代数结果：

• 分母部分：$1-3{\text{i}}^2=1-3(-1)=1+3=4$
• 分子部分：$(1-\sqrt{3}\text{i}{)}^2=1-2\sqrt{3}\text{i}+(\sqrt{3}\text{i}{)}^2=1-2\sqrt{3}\text{i}-3=-2-2\sqrt{3}\text{i}$

组合各部分结果： $\text{原式}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2-2\sqrt{3}\text{i}}{4}=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{2}{4}-\frac{2\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)$ $\text{原式}=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的完全平方展开，共轭复数性质（$(a+b\text{i})(a-b\text{i})=a^2+b^2$），虚数单位 $\text{i}$ 的指数乘幂循环。
2. 核心方法：共轭实数化法。
3. 避坑指南：

   • 极易在展开完全平方式时，将 ${\text{i}}^2$ 的负号漏掉或算错，如误记成 $(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2=3+2\sqrt{3}\text{i}+1=4+2\sqrt{3}\text{i}$。

   • 在最后一步分配系数 $\frac{1}{2}$ 时，注意不要漏乘虚部项的系数，确保分母中的 2 与 4 完全正确地相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于数集扩展大板块中的基础常规复数运算题，直接考查教材中复数代数形式加、减、乘、除四则运算通式的熟练度。
2. 结论推广: 利用复数的欧拉公式 ${\text{e}}^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ （或三角形式）。 分子：$1-\sqrt{3}\text{i}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)=2{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\pi }{3}}$ 分母基数：$\sqrt{3}+\text{i}=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+\text{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)=2{\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{6}}⟹(\sqrt{3}+\text{i}{)}^2=4{\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{3}}$ 直接相除：$\frac{2{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\pi }{3}}}{4{\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{3}}}=\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\text{i}\frac{2\pi }{3}}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$。 此推广方法在面对复数的高次幂乘除混编运算时效率极高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1987-广东文-26 填-复数的共轭
• 2012-辽宁卷(理)-02 单-复数