2003-辽宁卷-01 单-平面直角坐标系中的点关于原点对称的坐标特征

本题导读

本题核心考查解析几何中函数图象的对称变换规律。解题关键在于理解关于原点对称的代数特征，即将原方程中的自变量 $x$ 替换为 $-x$，同时将因变量 $y$ 替换为 $-y$，进而通过代数整理得到新曲线的解析式。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 与曲线 $y=\frac{1}{x-1}$ 关于原点对称的曲线为()

A. $y=\frac{1}{1+x}$　B. $y=-\frac{1}{1+x}$　C. $y=\frac{1}{1-x}$　D. $y=-\frac{1}{1-x}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本对称规律：设原曲线上任意一点的坐标为 $(x,y)$，该点关于原点 $O(0,0)$ 对称的点为 $(x^{\prime },y^{\prime })$。根据中心对称性质，有 $x^{\prime }=-x$ 且 $y^{\prime }=-y$，即 $x=-x^{\prime }$， $y=-y^{\prime }$。

2. 方程整体代换：将 $x=-x^{\prime }$ 和 $y=-y^{\prime }$ 代入已知曲线方程 $y=\frac{1}{x-1}$ 中。

3. 代数移项化简：整理新方程，将左边的负号移至右边，并对分母进行因式调整，使其符合标准选项的形式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设所求曲线上任意一点的坐标为 $(x,y)$，则它关于原点对称的点 $(-x,-y)$ 必在已知曲线 $y=\frac{1}{x-1}$ 上。

将点 $(-x,-y)$ 的坐标代入已知曲线方程： $-y=\frac{1}{-x-1}$

两边同时乘以 $-1$，消去左边的负号： $y=-\frac{1}{-x-1}$

对分母提取负号： $y=-\frac{1}{-(x+1)}$

分子与分母的负号相互抵消，化简可得： $y=\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+x}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：关于原点对称的图象映射法则（ $f(x,y)=0\to f(-x,-y)=0$）。
2. 核心方法：坐标代换法。
3. 避坑指南：

   • 极易混淆关于坐标轴对称与关于原点对称的规律。关于 $x$ 轴对称仅变纵坐标符号（$y\to -y$）；关于 $y$ 轴对称仅变横坐标符号（$x\to -x$）；而关于原点对称必须同时改变两者的符号。

   • 分式负号提取时需细心，分母 $-x-1=-(x+1)$，前面的负号与分母提取的负号相乘得正，防止因符号混乱误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于基础解析几何函数变换题，直接源于高中必修教材中关于“函数图象的对称变换”章节的课后基础练习题。
2. 结论推广: 对于任意函数 $y=f(x)$，其关于原点对称的曲线方程通式恒为： $y=-f(-x)$ 本题中 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $-f(-x)=-\frac{1}{-x-1}=\frac{1}{x+1}$。该规律适用于所有初等函数的中心对称变换。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-07 单-直线关于点的对称
• 2005-重庆卷文-01 单-圆关于点的对称
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标