2003-江苏卷-19 解-直三棱柱的几何性质

本题导读

本题主要考查空间中线面角以及点到平面距离的计算。解题的关键在于通过“点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $△ABD$ 的重心 $G$”这一核心条件，利用向量垂直建立代数方程，求解出底面等腰直角三角形的未知边长，从而建立空间直角坐标系，将线面角与距离问题转化为向量的运算。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ }$，侧棱 $A{A}_1=2$，$D、E$ 分别是 $C{C}_1$ 与 $A_{1}B$ 的中点，点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $△ABD$ 的重心 $G$.

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

(2) 求点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本几何量：直三棱柱中侧棱垂直于底面，底面为等腰直角三角形，设 $CA=CB=a$。因为 $D$ 是 $C{C}_1$ 的中点且 $C{C}_1=A{A}_1=2$，可得 $CD=1,C_{1}D=1$。

2. 构建空间直角坐标系：以 $C$ 为原点， $CA,CB,C{C}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $C-xyz$。用参数 $a$ 表示出所有关键点的坐标。

3. 利用重心与射影条件解出边长 $a$：

   • 写出 $A,B,D$ 的坐标，由重心公式求出 $G$ 的坐标（含 $a$）。
   • 写出 $E$ 的坐标。因为 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $G$，所以直线 $EG\perp \text{平面 }ABD$。
   • 从而有 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 且 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AD}=0$。通过向量数量积方程解出底面边长 $a$。

4. 计算线面角：解出 $a$ 后， $\overrightarrow{EG}$ 即为平面 $ABD$ 的一个法向量。利用线面角公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{EG}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{EG}|}$ 求解。

5. 计算点到平面的距离：求出平面 $AED$ 的法向量 $\vec{n}$，利用点到平面的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{A_{1}A}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 计算结果。

✅【答案】

Success

(1) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $C$ 为原点， $CA,CB,C{C}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 设底面等腰直角三角形的直角边长为 $CA=CB=a$ ($a>0$)。

根据题意可得各顶点的坐标为： $C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),A_1(a,0,2),B_1(0,a,2),C_1(0,0,2)$

因为 $D$ 是 $C{C}_1$ 的中点， $E$ 是 $A_{1}B$ 的中点，由中点坐标公式得： $D(0,0,1)$ $E\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+a}{2},\frac{2+0}{2}\right)⟹E\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},1\right)$

因为 $G$ 是 $△ABD$ 的重心，其坐标为 $A,B,D$ 三点坐标的算术平均值： $G\left(\frac{a+0+0}{3},\frac{0+a+0}{3},\frac{0+0+1}{3}\right)⟹G\left(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{1}{3}\right)$

由此可计算出方向向量 $\overrightarrow{EG}$： $\overrightarrow{EG}=\left(\frac{a}{3}-\frac{a}{2},\frac{a}{3}-\frac{a}{2},\frac{1}{3}-1\right)=\left(-\frac{a}{6},-\frac{a}{6},-\frac{2}{3}\right)$

因为点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $G$，所以 $EG\perp \text{平面 }ABD$。 则 $\overrightarrow{EG}$ 为平面 $ABD$ 的一个法向量，因此 $\overrightarrow{EG}\perp \overrightarrow{AD}$。 由坐标可得：$\overrightarrow{AD}=(0-a,0-0,1-0)=(-a,0,1)$。 根据 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AD}=0$： $\left(-\frac{a}{6}\right)\cdot (-a)+\left(-\frac{a}{6}\right)\cdot 0+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 1=0$ $\frac{a^2}{6}-\frac{2}{3}=0⟹\frac{a^2}{6}=\frac{4}{6}⟹a^2=4$ 因为 $a>0$，所以： $a=2$

将 $a=2$ 代入，更新各关键向量与坐标： $A(2,0,0),B(0,2,0),A_1(2,0,2),D(0,0,1),E(1,1,1)$ $\overrightarrow{EG}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)⟹\text{取简化法向量 }\vec{m}=(1,1,2)$

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小

易得向量 $\overrightarrow{A_{1}B}=(0-2,2-0,0-2)=(-2,2,-2)$。 设 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \vec{m}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\vec{m}|}=\frac{|(-2)\cdot 1+2\cdot 1+(-2)\cdot 2|}{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+2^2}}$ $\sin \theta =\frac{|-2+2-4|}{\sqrt{12}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

由于线面角 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以： $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$

答： $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$.

(2) 求点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离

设平面 $AED$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 已知： $\overrightarrow{AE}=(1-2,1-0,1-0)=(-1,1,1)$ $\overrightarrow{AD}=(0-2,0-0,1-0)=(-2,0,1)$

由于 $\vec{n}\perp \overrightarrow{AE}$ 且 $\vec{n}\perp \overrightarrow{AD}$，列出方程组： $\{\begin{array}{l}-x+y+z=0\\ -2x+z=0\end{array}$ 由第二式得 $z=2x$，代入第一式得 $-x+y+2x=0⟹y=-x$。 令 $x=1$，得平面 $AED$ 的一个法向量为： $\vec{n}=(1,-1,2)$

又因为 $\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,2)$，所以点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{A{A}_1}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\cdot 1+0\cdot (-1)+2\cdot 2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

答：点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中射影垂直关系的代数转化，三角形重心坐标公式，线面角夹角通式 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$，点到平面空间向量距离公式。
2. 核心方法：空间向量坐标法。通过寻找两两垂直的基底（如直三棱柱的侧棱与直角底边）构建直角坐标系，可将复杂的空间翻折和位置证明完全符号化、代数化。
3. 避坑指南：

   • 第一问中，线面角对应的是线与法向量夹角的余角，因此在计算数量积公式时对应的三角函数名是 $\sin \theta$ 而不是 $\cos \theta$。

   • 题目明确要求“结果用反三角函数值表示”，最终答案必须写成 $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$ 形式，直接保留根式或写成其他三角函数名若无把握易扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何板块中的压轴解答题。侧重考查数形结合，通过给出一个隐蔽的射影最值（重心）作为突破口，来全面检验考生的空间向量坐标运算基本功。
2. 结论推广: 在任意空间坐标系中，设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，直线上两点构成的向量为 $\vec{v}$，则线面角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。对于空间中任意点 $M$ 到该平面的垂直距离，只需在平面内任取一点 $P$，其距离公式恒为 $d=\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。此公式将传统几何中繁琐的“作、证、算”三步法简化为了纯粹的代数矩阵运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-32 解-线面角与距离
• 1989-广东理-31 解-线面角与距离
• 1998-全国卷文-23 解-斜三棱柱的角与距离