2003-江苏卷-07 单-正方体的几何性质

本题导读

本题主要考查正方体内接正八面体的体积计算。解题的关键在于识别出该八面体是一个由两个相同的正四棱锥底面拼接而成的正八面体，通过找出正四棱锥的底面面积和高与原正方体棱长 $a$ 之间的代数关系，从而利用体积公式进行求解。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()

A. $\frac{a^3}{3}$　　　　　　B. $\frac{a^3}{4}$　　　　　　C. $\frac{a^3}{6}$　　　　　　D. $\frac{a^3}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别空间几何体结构：正方体有 6 个面，每个面的中心连结起来共有 6 个顶点。由于每个面与 4 个面相邻，每个中心向周围连出 4 条线段，组成一个正八面体。

2. 图形分割化归：该正八面体具有高度的对称性，可以通过正方体的水平中截面将其切开，分割成上下两个完全对称的正四棱锥。

3. 确定底面与高：

   • 两个正四棱锥的公共底面是正方体前后左右四个侧面中心连线形成的四边形。该四边形是一个水平放置的正方形。
   • 正四棱锥的高是从正方体上（或下）底面中心到中截面的垂直距离。

4. 计算体积：求出一个正四棱锥的体积 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$，乘以 2 即得整个正八面体的总体积。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据正方体的对称性，连结正方体相邻面中心所形成的八面体是标准的正八面体。

利用正方体水平中截面将该正八面体横切，分割为上下两个完全相同的正四棱锥。

1. 确定公共底面的面积 $S_{\text{底}}$： 中间的公共底面是由正方体前后左右四个侧面的中心依次连结形成的正方形。 该正方形的四个顶点恰好是边长为 $a$ 的水平中截面正方形各边的中点。 因此，该内接正方形的对角线长度等于正方体的棱长 $a$。 根据正方形面积公式（对角线乘积的一半）： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times a\times a=\frac{1}{2}{a}^2$

2. 确定正四棱锥的高 $h$： 正四棱锥的顶点为正方体上底面（或下底面）的中心，底面位于正方体的中心水平面上。 因此，该四棱锥的高等于正方体棱长的一半： $h=\frac{1}{2}a$

3. 计算单个正四棱锥的体积 $V_{\text{锥}}$： $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}{a}^2\right)\times \left(\frac{1}{2}a\right)=\frac{1}{12}{a}^3$

4. 计算正八面体的总体积 $V$： $V=2\times V_{\text{锥}}=2\times \frac{1}{12}{a}^3=\frac{a^3}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体与正八面体的对偶结构关系，四棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。
2. 核心方法：对称分割法（立体几何降维化简）。利用对称面将复杂的组合体拆解为标准的基本柱体或锥体。
3. 避坑指南：

   • 求解中间正方形面积时，易错误地将其中点相连的边长误认为 $a$，从而算出 $S_{\text{底}}=a^2$ 导致最终算出 $\frac{a^3}{3}$ 的错误答案。牢记中点多边形面积为外围正方形的一半。

   • 忘乘系数 2。部分考生算出一个四棱锥体积 $\frac{1}{12}{a}^3$ 之后，直接对照选项误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何中的“对偶多面体”经典题型。正方体（六面体）和正八面体互为对偶多面体，即一个多面体的顶点对应另一个多面体的面中心。
2. 结论推广:
   • 棱长为 $a$ 的正方体，其各面中心构成的内接正八面体体积恒为 $V_{\text{内}}=\frac{1}{6}{a}^3$（即原正方体体积的 $\frac{1}{6}$）。
   • 反之，若一个正八面体的棱长为 $L$，其各面中心构成的内接正方体体积恒为 $V_{\text{内}}=\frac{2\sqrt{2}}{27}{L}^3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1987-上海-05 填-组合体的体积
• 1952-全国-11 填-直圆锥体积
• 1953-全国-09 解-直三棱柱的体积