2003-广东卷-13 填-无理不等式的解法

本题导读

本题主要考查无理不等式的求解。解题的关键在于构建等价的不等式组，不仅要对两边平方消去根号，还必须严格限制根号下被开方数非负以及根式外部大于号端为正数的前提条件。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 不等式 $\sqrt{4x-x^2}<x$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定等价转化条件：形如 $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 的无理不等式，其等价的代数不等式组为： $\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<[g(x){]}^2\end{array}$

2. 列出具体不等式组：将 $f(x)=4x-x^2$，$g(x)=x$ 代入上述公式。

3. 求解并取交集：分别求出各个不等式的解集，最终通过数轴交集运算确定总解集。

✅【答案】

Success

$(2,4]$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式 $\sqrt{4x-x^2}<x$ 等价于以下不等式组： $\{\begin{array}{l}4x-x^2\ge 0\text{(1)}\\ x>0\text{(2)}\\ 4x-x^2<x^2\text{(3)}\end{array}$

1. 解不等式 ①： $4x-x^2\ge 0⟹x(4-x)\ge 0⟹x(x-4)\le 0$ 解得：$0\le x\le 4$。

2. 解不等式 ②： $x>0$

3. 解不等式 ③： $4x-x^2<x^2⟹2x^2-4x>0⟹2x(x-2)>0$ 解得：$x<0$ 或 $x>2$。

4. 求不等式组的交集： 综合上述三个部分的取值范围：

   • 由 ① 和 ② 交集得：$0<x\le 4$。
   • 再与 ③ （$x<0$ 或 $x>2$）取交集。由于 $0<x\le 4$ 区域内与 $x<0$ 无交集，故只需看 $x>2$ 的部分。
   • 最终交集结果为：$2<x\le 4$。

答案：$(2,4]$（或 $\{x|2<x\le 4\}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理不等式的等价转化法，一元二次不等式的因式分解与求解。
2. 核心方法：等价组法。将含有根号的非线性不等式转换为一组相互约束的代数一次/二次不等式组。
3. 避坑指南：

   • 极易遗漏被开方数非负的限制条件 ①（即定义域约束）。

   • 极易遗漏右侧自变量必为正数的条件 ②。若不限制 $x>0$，直接平方会扩大解集范围，引入虚假解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于无理不等式标准求解的经典题型，旨在考查对根式代数意义及不等式两边平方法则适用边界的严谨认知。
2. 结论推广: 无理不等式的两大标准等价转换类型：
   • 类别一：$\sqrt{f(x)}<g(x)⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<[g(x){]}^2\end{array}$
   • 类别二：$\sqrt{f(x)}>g(x)⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)>[g(x){]}^2\end{array}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形