2003-广东卷-09 单-空间几何体的结构

本题导读

本题主要考查立体几何中的立体截面法和代数最值问题。解题的关键在于通过圆锥的轴截面将空间内接体问题转化为平面几何中的相似三角形问题，建立内接圆柱全面积关于其底面半径的二次函数模型，从而通过配方法求解最大值。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()

A. $2\pi R^2$　　　　　B. $\frac{9}{4}\pi R^2$　　　　　C. $\frac{8}{3}\pi R^2$　　　　　D. $\frac{3}{2}\pi R^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 截面几何建模：作圆锥的轴截面（一个底边为 $2R$、高为 $3R$ 的等腰三角形），圆柱的轴截面（一个矩形）内接于该等腰三角形。

2. 寻找相似比例：设内接圆柱的底面半径为 $r$ ($0<r<R$)，高为 $h$。利用轴截面三角形中的相似三角形性质，建立 $r$ 与 $h$ 之间的线性关系式。

3. 构建全面积函数：写出圆柱全面积的公式 $S=2\pi r^2+2\pi rh$，将 $h$ 用含 $r$ 的代数式替换，使之转化为关于 $r$ 的二次函数。

4. 配方求解最值：对二次函数进行配方，计算出在定义域内能取得的最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

作圆锥的轴截面，得到一个底边长为 $2R$、高为 $3R$ 的等腰三角形。内接圆柱的轴截面是一个矩形，内接于该三角形中。

设内接圆柱的底面半径为 $r$ ($0<r<R$)，高为 $h$。 根据轴截面图形中的相似三角形性质（小圆锥与大圆锥的高与底面半径成比例）： $\frac{3R-h}{3R}=\frac{r}{R}$

解出圆柱的高 $h$ 关于半径 $r$ 的表达式： $3R-h=3r⟹h=3(R-r)$

圆柱的全面积（表面积）$S$ 公式为： $S=2\pi r^2+2\pi rh$

将 $h=3(R-r)$ 代入全面积公式中： $S=2\pi r^2+2\pi r\cdot 3(R-r)$ $S=2\pi r^2+6\pi Rr-6\pi r^2$ $S=-4\pi r^2+6\pi Rr$

这是一个关于 $r$ 的开口向下的二次函数。提取常数项 $-4\pi$ 进行配方： $S=-4\pi \left(r^2-\frac{3}{2}Rr\right)$ $S=-4\pi \left[{\left(r-\frac{3}{4}R\right)}^2-\frac{9}{16}{R}^2\right]$ $S=-4\pi {\left(r-\frac{3}{4}R\right)}^2+\frac{9}{4}\pi R^2$

因为 $0<\frac{3}{4}R<R$，在自变量的取值范围内， 所以当内接圆柱的底面半径 $r=\frac{3}{4}R$ 时，全面积 $S$ 取得最大值： $S_{\max }=\frac{9}{4}\pi R^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何动态最值问题，轴截面法（降维法）的应用，圆柱全面积公式 $S_{\text{全}}=2S_{\text{底}}+S_{\text{侧}}$。
2. 核心方法：几何问题代数化（函数思想）。将空间位置约束（内接）通过相似比转化为代数方程，利用二次函数性质求解。
3. 避坑指南：

   • 极易混淆圆柱的“全面积”与“侧面积”。若误记为侧面积 $S_{\text{侧}}=2\pi rh$，会解出最大值为 $\frac{3}{2}\pi R^2$（从而误选 D）。

   • 代入化简时注意负号与系数的乘积运算，确保配方过程无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的立体几何与初等函数最值交汇的经典大题微缩版（选择题形式），考查空间图形的平面化变换（降维法）。
2. 结论推广: 已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $H$，其内接圆柱的底面半径为 $r$。则圆柱的高 $h=\frac{H(R-r)}{R}$，其全面积函数为 $S(r)=2\pi \left(1-\frac{H}{2R}\right)r^2+2\pi Hr$。当 $H>2R$ 时，该二次函数在 $r=\frac{HR}{2(H-2R)}$ 处取得极值（需结合定义域判定）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1958-北京-10 解-圆柱圆锥倒水等高问题
• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-浙江-06 解-土圆仓容积