2003-广东卷-01 单-直线的斜率与截距

本题导读

本题主要考查一次函数及正比例函数的图像特征。解题的关键在于理解直线方程中系数 $a$ 的几何意义（斜率与截距），通过分析 $a$ 在不同图像中的正负状态是否相符来进行逻辑判断。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 在同一坐标系中，表示直线 $y=ax$ 与 $y=x+a$ 正确的是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别系数几何意义：

   • 直线 $l_1:y=ax$ 是过原点 $(0,0)$ 的正比例函数，其斜率为 $a$。
   • 直线 $l_2:y=x+a$ 的斜率为 $1$（固定为正，从左下向右上倾斜），在 $y$ 轴上的截距为 $a$。

2. 分类讨论参数 $a$ 的符号：

   • 若 $a>0$，则 $l_1$ 的斜率大于 $0$，$l_2$ 在 $y$ 轴上的截距大于 $0$。
   • 若 $a<0$，则 $l_1$ 的斜率小于 $0$，$l_2$ 在 $y$ 轴上的截距小于 $0$。

3. 比对选项进行排除：结合上述逻辑，检查各选项中两直线的状态是否自洽。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对参数 $a$ 的正负号进行分类讨论：

1. 假设 $a>0$：
   • 直线 $y=ax$ 的斜率为正，图像必经过第一、三象限；
   • 直线 $y=x+a$ 的斜率为 $1>0$，且在 $y$ 轴上的截距为 $a>0$，即直线与 $y$ 轴的交点在正半轴。
   • 对照选项：
     • (A) 中过原点的直线斜率为正（$a>0$），但另一条直线的截距在 $y$ 轴负半轴（要求截距 $a<0$），相互矛盾；
     • (C) 中过原点的直线斜率为负（$a<0$），另一条直线的截距在 $y$ 轴负半轴（$a<0$），此时符号一致。下面验证 (C) 是否正确。
2. 假设 $a<0$：
   • 直线 $y=ax$ 的斜率为负，图像必经过第二、四象限；
   • 直线 $y=x+a$ 的斜率为 $1>0$，且在 $y$ 轴上的截距为 $a<0$，即直线与 $y$ 轴的交点在负半轴。
   • 对照选项：

     • (C) 中过原点的直线由左上向右下倾斜，斜率为负（即 $a<0$）；另一条斜率为正的直线与 $y$ 轴交于负半轴，截距为负（即 $a<0$）。两直线的参数 $a$ 符号一致，符合题意。

     • (B) 中过原点的直线斜率为负（$a<0$），但另一条直线的截距在 $y$ 轴正半轴（$a>0$），相互矛盾；

     • (D) 中过原点的直线斜率为负（$a<0$），另一条直线的斜率也为负，而 $y=x+a$ 的斜率必须固定为 $1>0$，故错误。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的斜截式方程 $y=kx+b$ 中 $k$ 和 $b$ 的正负与象限分布的关系。

2. 核心方法：控制变量与符号对应法。抓住“过原点”的线确定 $a$ 的符号，再用“不过原点”的线进行二次校验。

3. 避坑指南：容易分不清哪条直线对应哪个方程。解题时需首先通过“是否过原点”这一最直观的特征将两条直线剥离（$y=ax$ 必定过原点，$y=x+a$ 当 $a\ne 0$ 时不过原点）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教版初中数学一次函数图像与性质的经典辨析题，在高中阶段多作为考查直线的方程及基本功的常规范题。
2. 结论推广: 对于任意一组函数 $y=f(x;a)$ 与 $y=g(x;a)$ 在同一坐标系中的图像选择题，通性的解题策略均为：先依据其中一个图像确定参数 $a$ 的取值范围，再验证该范围是否能使另一个图像的几何特征（如开口、对称轴、截距、渐近线等）同时成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-03 单-直线的截距
• 1988-广东理-01 单-直线的截距
• 1977-上海文-06 解-直线的斜率与倾角