2003-北京卷理-14 填-周长与面积的几何公式

本题导读

本题考查导数或二次函数在几何最值问题中的应用。核心意图在于测试学生通过设立合理的变量，将两个独立几何图形（正方形与圆）的面积之和转化为关于正方形周长的一元二次函数，从而利用二次函数的顶点对称轴公式求解最值处的参数值。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 14. 将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为$\underline{}$_.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设立自变量：设其中围成正方形的铁丝长度（即正方形的周长）为 $x$，则 $x\in (0,1)$。由于铁丝总长为 1，围成圆形的铁丝长度（即圆的周长）自然为 $1-x$。

2. 构建面积目标函数：

   • 正方形周长为 $x$，则边长为 $\frac{x}{4}$，面积 $S_1={\left(\frac{x}{4}\right)}^2=\frac{x^2}{16}$。
   • 圆的周长为 $1-x$，设圆的半径为 $r$，由 $2\pi r=1-x⟹r=\frac{1-x}{2\pi }$，面积 $S_2=\pi r^2=\pi {\left(\frac{1-x}{2\pi }\right)}^2=\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$。
   • 总面积 $S(x)=S_1+S_2=\frac{x^2}{16}+\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$。

3. 求解函数最值点：将目标函数展开并整理为关于 $x$ 的一元二次函数标准形式 $S(x)=A{x}^2+Bx+C$。由于二次项系数大于 0，抛物线开口向上，利用对称轴公式 $x=-\frac{B}{2A}$ 即可求出总面积最小时的周长 $x$。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{\pi +4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：参数化两图形的基本几何量 设围成正方形的铁丝长度（即正方形的周长）为 $x(0<x<1)$。 因为铁丝总长度为 1，所以剩下围成圆形的铁丝长度（即圆的周长）为 $1-x$。

• 正方形的面积： 正方形的边长为 $\frac{x}{4}$，其面积 $S_1$ 为： $S_1={\left(\frac{x}{4}\right)}^2=\frac{x^2}{16}$

• 圆形的面积： 设圆的半径为 $r$，根据圆的周长公式有： $2\pi r=1-x⟹r=\frac{1-x}{2\pi }$ 则圆的面积 $S_2$ 为： $S_2=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{1-x}{2\pi }\right)}^2=\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$

第二步：构建总面积的目标函数 正方形与圆的面积之和 $S$ 表现为关于 $x$ 的一元二次函数： $S(x)=S_1+S_2=\frac{x^2}{16}+\frac{(1-x{)}^2}{4\pi }$ 将等式右侧完全展开并按 $x$ 的降幂次数合并同类项： $S(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{1-2x+x^2}{4\pi }=\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4\pi }\right)x^2-\frac{1}{2\pi }x+\frac{1}{4\pi }$ 通分净化二次项系数： $S(x)=\frac{\pi +4}{16\pi }{x}^2-\frac{1}{2\pi }x+\frac{1}{4\pi }$

第三步：利用二次函数顶点性质求解极小值点 因为二次项系数 $A=\frac{\pi +4}{16\pi }>0$，所以该二次函数图像是一条开口向上的抛物线，在其对称轴处取得全局极小值（最小值）。 根据二次函数对称轴最值公式 $x=-\frac{B}{2A}$，代入对应系数： $x=-\frac{-\frac{1}{2\pi }}{2\cdot \frac{\pi +4}{16\pi }}=\frac{\frac{1}{2\pi }}{\frac{\pi +4}{8\pi }}=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{8\pi }{\pi +4}=\frac{4}{\pi +4}$

因为 $\frac{4}{\pi +4}\approx \frac{4}{7.14}\in (0,1)$，该轴线确实落于变量的合法物理定义域区间内。 所以，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 $\frac{4}{\pi +4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面图形周长与面积代数代换的基本功；解析几何/代数函数最值一元二次方程组的极值轴解法。
2. 核心方法：变量参数化函数法。
3. 避坑指南：

   • 边长/半径与周长混淆陷阱：部分学生在设变量 $x$ 后，容易将 $x$ 混淆为正方形的边长或圆的半径。请务必注意：题目求的是“正方形的周长”，直接把周长设为 $x$ 可以免去最后一步的乘法逆运算，使目标直截了当。

   • 展开计算繁琐粗心陷阱：本题含有无理常数 $\pi$，化简过程中涉及分数与分式复合。在计算对称轴 $-\frac{B}{2A}$ 时，务必在草稿纸上稳步进行分式相除和约分，避免因口算能力不足导致系数错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于经典的等周问题变式。几何学中等周定理指出：在给定周长约束下，圆形的面积最大。本题实质是求两图形面积之和的最小值。

2. 结论推广: 【经典等周切分最小面积定理】 将长度为 $L$ 的铁丝切分为两部分，分别围成一个正多边形（边数为 $n$）和一个圆。若要使两者联合面积之和达到全局最小：

• 设正多边形的周长为 $X$，由函数最值可解出： $X=\frac{n\cdot \tan \frac{\pi }{n}}{\pi +n\cdot \tan \frac{\pi }{n}}\cdot L$
• 本题切合点：本题中总长 $L=1$，图形为正方形（边数 $n=4$）。由于 $\tan \frac{\pi }{4}=1$，代入推广通式秒杀： $X=\frac{4\times 1}{\pi +4\times 1}\times 1=\frac{4}{\pi +4}$ 利用此定理，未来无论遇到“围成等边三角形（ $n=3$ ）与圆”还是“围成正六边形（ $n=6$ ）与圆”，均可略去全部繁琐的函数构建与通分求导过程，直接用大招通式一秒口算给出标准答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积