2003-北京文-19 解-三镇选址最值

本题导读

本题考查函数最值的实际应用。核心在于建立坐标系将几何条件转化为函数最值问题。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 有三个新兴城镇，分别位于 $A$，$B$，$C$ 三点处，且 $AB=AC=13\mathrm{km}$，$BC=10\mathrm{km}$.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处（建立坐标系如图）．

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和为最小，点 $P$ 应位于何处？

(2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离为最小，点 $P$ 应位于何处？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$B(-5,0)$，$C(5,0)$，$A(0,12)$（高 $\sqrt{13^2-5^2}=12$），设 $P(0,y)$。
2. (1) 平方和 $S(y)=3y^2-24y+194$，配方求最小。
3. (2) 最远距离 $\max \{|y-12|,\sqrt{y^2+25}\}$，在两类距离相等处分界最小。

✅【答案】

Success

(1) 点 $P$ 的坐标为 $(0,4)$；(2) 点 $P$ 的坐标为 $\left(0,\frac{119}{24}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

以 $BC$ 所在直线为 $x$ 轴、$BC$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立坐标系，则 $B(-5,0)$，$C(5,0)$，$A(0,12)$（由 $AB=13$，$BC=10$ 得高 $\sqrt{13^2-5^2}=12$），$P(0,y)$. (1) $P$ 到三镇距离的平方和 $S=|PA{|}^2+|PB{|}^2+|PC{|}^2=(y-12{)}^2+2(y^2+25)=3y^2-24y+194=3(y-4{)}^2+146\ge 146$，当且仅当 $y=4$ 时取等号。故点 $P$ 应位于坐标 $(0,4)$ 处。 (2) $P$ 到三镇的距离分别为 $|PA|=|y-12|$，$|PB|=|PC|=\sqrt{y^2+25}$.记 $d(y)=\max \{|y-12|,\sqrt{y^2+25}\}$.当 $|y-12|=\sqrt{y^2+25}$，即 $(y-12{)}^2=y^2+25$，解得 $y=\frac{119}{24}$，此时两类距离相等且 $d(y)$ 取得最小值。故点 $P$ 应位于坐标 $\left(0,\frac{119}{24}\right)$ 处。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三镇选址最值
2. 核心方法：建系 $B(-5,0)$、$C(5,0)$、$A(0,12)$、$P(0,y)$：(1) 平方和 $3y^2-24y+194$ 在 $y=4$ 最小，$P(0,4)$；(2) 最远距离 $\max \{|y-12|,\sqrt{y^2+25}\}$，两式相等处 $y=\frac{119}{24}$，$P\left(0,\frac{119}{24}\right)$
3. 避坑指南：平方和最小用配方；最远距离最小在两类距离相等的分界点取得

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材函数最值的实际应用
2. 结论推广: 一般地，距离平方和最小用二次函数；最远距离最小在分界点取得；建立坐标系，将几何条件转化为函数最值

🔗【关联脉络】

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