2003-全国卷理-11 单-组合数性质与求和公式

本题导读

本题核心考查组合数求和公式（朱世杰恒等式）与数列极限的综合应用。解题关键在于利用组合数的递推性质将分子与分母的级数求和公式化简为关于 $n$ 的单项组合数，再转化为多项式分式求趋于无穷大时的极限。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\text{C}}_2^2+{\text{C}}_3^2+{\text{C}}_4^2+\cdots +{\text{C}}_n^2}{n({\text{C}}_2^1+{\text{C}}_3^1+{\text{C}}_4^1+\cdots +{\text{C}}_n^1)}=$()

A. $3$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母级数化简：分母括号内为 ${\text{C}}_2^1+{\text{C}}_3^1+\cdots +{\text{C}}_n^1=2+3+\cdots +n$，利用等差数列求和公式或组合数求和性质化简。

2. 分子级数化简：分子为 ${\text{C}}_2^2+{\text{C}}_3^2+\cdots +{\text{C}}_n^2$，利用组合数恒等式 ${\text{C}}_m^m+{\text{C}}_{m+1}^m+\cdots +{\text{C}}_n^m={\text{C}}_{n+1}^{m+1}$（朱世杰恒等式）将其合并。

3. 计算多项式极限：将化简后的分子与分母代入原式，展开为关于 $n$ 的多项式分式，提取最高次项的系数比求得极限值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简分母括号内的级数 $S_1={\text{C}}_2^1+{\text{C}}_3^1+{\text{C}}_4^1+\cdots +{\text{C}}_n^1=2+3+4+\cdots +n$ 这是一个首项为 2，末项为 $n$，项数为 $n-1$ 的等差数列： $S_1=\frac{(2+n)(n-1)}{2}=\frac{n^2+n-2}{2}$ 或者利用组合数恒等式： ${\text{C}}_2^1+{\text{C}}_3^1+\cdots +{\text{C}}_n^1={\text{C}}_{n+1}^2-{\text{C}}_1^1-{\text{C}}_0^1=\frac{(n+1)n}{2}-1=\frac{n^2+n-2}{2}$ 因此，整个分母可以表示为： $\text{分母}=n\cdot S_1=\frac{n(n^2+n-2)}{2}=\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2-n$

第二步：化简分子级数 根据组合数的基本性质，有 ${\text{C}}_2^2={\text{C}}_3^3=1$，代入分子级数： $S_2={\text{C}}_2^2+{\text{C}}_3^2+{\text{C}}_4^2+\cdots +{\text{C}}_n^2={\text{C}}_3^3+{\text{C}}_3^2+{\text{C}}_4^2+\cdots +{\text{C}}_n^2$ 利用组合数递推公式 ${\text{C}}_k^m+{\text{C}}_k^{m-1}={\text{C}}_{k+1}^m$ 逐项合并： ${\text{C}}_3^3+{\text{C}}_3^2={\text{C}}_4^3$ ${\text{C}}_4^3+{\text{C}}_4^2={\text{C}}_5^3$ $\cdots$ ${\text{C}}_n^3+{\text{C}}_n^2={\text{C}}_{n+1}^3$ 由此可得分子求和结果为： $S_2={\text{C}}_{n+1}^3=\frac{(n+1)n(n-1)}{3\times 2\times 1}=\frac{n^3-n}{6}=\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{6}n$

第三步：求数列的极限 将分子与分母的化简结果代入极限式： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{6}n}{\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2-n}$ 分子与分母同除以 $n^3$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{6n^2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}\times 2=\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数求和恒等式 ${\sum }_{k=m}^n{\text{C}}_k^m={\text{C}}_{n+1}^{m+1}$，无穷大阶数多项式极限的最高次幂系数规则。
2. 核心方法：朱世杰恒等式级数收拢法。
3. 避坑指南：

   • 极其容易在化简分母时，由于错看起点（从 ${\text{C}}_2^1$ 开始而非 ${\text{C}}_1^1$）导致项数算错。

   • 在求极限时，只需保留分子与分母中关于 $n$ 的最高次幂（即 $n^3$ 项）的系数，低次幂项在 $n\to \infty$ 时极限均为 0，无须耗费时间进行低次项的精确展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于计数原理与数学分析（极限）交叉的中档常规选择题。其核心组合求和公式在我国古代数学中被称为朱世杰恒等式，记载于1303年元代数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》中。
2. 结论推广: 将该极限模型推广至一般化，对于任意给定的正整数 $m$，下列极限恒满足对偶阶数之比： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{k=m}^n{\text{C}}_k^m}{n\cdot \left({\sum }_{k=1}^n{\text{C}}_k^{m-1}\right)}=\frac{1}{m+1}$ 本题中 $m=2$，直接代入通式可得极限值为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-34 填-等差数列前二十项和
• 1986-广东理-31 填-等差数列求和
• 1987-全国文-12 填-数列的极限