2003-全国卷理-10 单-坐标法与直线的方程

本题导读

本题主要考查解析几何中的光线反射模型。解题的核心技巧在于应用物理上的“入射角等于反射角”转化为数学上的“轴对称关系”，通过将长方形沿反射边进行连续对称翻折（即展平法），将折线路径转化为一条直线，进而通过坐标关系构建不等式求解 $\tan \theta$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知长方形的四个顶点 $A(0,0),B(2,0),C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$、 $DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$、 $P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角），设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1<x_4<2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　　　B. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　　C. $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：长方形四边分别是 $x=2$、$y=1$、$x=0$、$y=0$，反射问题转化为逐段求交点。
2. 逐段推进：光线每次撞壁后，斜率的绝对值不变、符号翻转，据此依次写出 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 的坐标。
3. 用「落在线段上」卡范围：每个反射点都必须落在对应边的内部（不是延长线），四个条件取交集，最后一条 $1<x_4<2$ 正是题目给定的条件。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

长方形四边所在直线为 $AB:y=0$，$BC:x=2$，$CD:y=1$，$DA:x=0$。$P_0$ 是 $AB$ 的中点，即 $P_0(1,0)$。设 $\tan \theta =k$，由光线射向右上方知 $k>0$。

逐段求反射点

1. 第一次：撞 $BC$。光线从 $P_0(1,0)$ 出发、斜率为 $k$，与 $x=2$ 交于 $P_1(2,k)$。要落在棱 $BC$ 内部，需 $0<k<1$。
2. 第二次：撞 $CD$。反射后斜率变为 $-k$，从 $P_1(2,k)$ 射向 $y=1$： $1-k=-k(x-2)⟹x=3-\frac{1}{k}$ 得 $P_2\left(3-\frac{1}{k},1\right)$。要落在棱 $CD$ 内部，需 $0<3-\frac{1}{k}<2⟹\frac{1}{3}<k<1$
3. 第三次：撞 $DA$。反射后斜率变回 $k$，从 $P_2$ 射向 $x=0$： $y=1+k\left(0-3+\frac{1}{k}\right)=2-3k$ 得 $P_3(0,2-3k)$。要落在棱 $DA$ 内部，需 $0<2-3k<1⟹\frac{1}{3}<k<\frac{2}{3}$
4. 第四次：撞 $AB$。反射后斜率为 $-k$，从 $P_3$ 射向 $y=0$： $0=(2-3k)-k(x-0)⟹x_4=\frac{2}{k}-3$ 即 $P_4\left(\frac{2}{k}-3,0\right)$。

代入条件

$1<x_4<2⟺1<\frac{2}{k}-3<2⟺4<\frac{2}{k}<5⟺\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$

区间 $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$ 完全含于前面各步的约束 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ 之内，说明此时四个反射点确实按题设顺序依次落在 $BC$、$CD$、$DA$、$AB$ 四边的内部，条件相容。

故 $\tan \theta$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$，选 C。

关于「展开法」的一处易错点

把长方形沿反射边依次翻折，可把折线拉成一条直线，但两次水平翻折的对应关系不同：第一次关于 $x=2$ 作镜像（$x\mapsto 4-x$），第二次是把已经镜像过的图形整体向右平移 2 个单位，而不是再次作镜像。因此 $P_4(x_4,0)$ 在展开图中的横坐标是 $x_4^{\prime }=4+x_4$ 竖直方向翻折一次，$AB$ 映射到 $y=2$，于是 $\tan \theta =\frac{2-0}{(4+x_4)-1}=\frac{2}{3+x_4}$ 由此解出 $x_4=\frac{2}{k}-3$，与逐段计算一致。若误把第二次水平翻折也当作镜像，写成 $x_4^{\prime }=8-x_4$，就会得到 $\frac{1}{3}<k<\frac{2}{5}$，与四个选项都不符——这是本题最常见的失分点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：镜面反射的物理几何化转换，平面直角坐标系中的直线斜率应用，一元一次分式不等式的解法。
2. 核心方法：镜面对称展平法。这是解决“光线连续反射”类问题的有力工具，可将复杂的折线路径降维转化为一条直线的斜率与两点距离问题。
3. 避坑指南：

   • 绝不能采用解析法一段一段去硬求交点 $P_1,P_2,P_3$ 的坐标，四次联立会导致代数式极其臃肿且极易因正负号错乱而出错。

   • 展平翻折时，一定要数清水平和垂直两个方向各自翻折的次数，从而准确写出终点的虚像坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解析几何中的高难度压轴选择题，考查光线反射与对称变换的综合运用。
2. 结论推广: 对于在一个大小为 $a\times b$ 的矩形区域内，从下底边某点出发进行连续反射的光线，可将其展平为 $M\times N$ 的大矩形，把终点映射到展平平面上的虚像点，再由起点与虚像点连线求斜率。所有碰撞问题均可转化为展平后的直线斜率问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切