2003-全国卷理-09 单-反函数的概念与求法

本题导读

本题考查正弦函数在非主值区间上的反函数求法。关键是利用诱导公式和换元，把自变量化到 $\arcsin x$ 的值域区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，再求反函数。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 函数 $f(x)=\sin x,x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$的反函数 $f^{-1}(x)=$()

A. $-\arcsin x,x\in [-1,1]$　　　　　　　　　　　　B. $-\pi -\arcsin x,x\in [-1,1]$

C. $\pi +\arcsin x,x\in [-1,1]$　　　　　　　　　　　　D. $\pi -\arcsin x,x\in [-1,1]$

(注：原图选项B与D排版有重合混淆，标准标准选项D应为 $\pi -\arcsin x$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定反函数的定义域：反函数的定义域即为原函数的值域。当 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 时， $y=\sin x$ 的值域为 $[-1,1]$，故反函数的定义域为 $x\in [-1,1]$。

2. 区间平移变换（变量代换）：反正弦函数 $t=\arcsin y$ 的标准值域为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。已知原函数的定义域为 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，需构造新变量 $t=\pi -x$，使其落在标准值域区间内。

3. 利用诱导公式反解：利用 $\sin (\pi -t)=\sin t$ 的诱导公式，将原方程转化为可以使用 $\arcsin$ 直接表达的形式，最后反解出 $x$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：变量代换法

设 $y=\sin x$，其中 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$。 为了使用反正弦函数 $\arcsin$ 的定义，必须把自变量转化到 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 区间内。

令 $t=\pi -x$。 因为 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，所以： $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}⟹-\frac{3\pi }{2}\le -x\le -\frac{\pi }{2}⟹-\frac{\pi }{2}\le \pi -x\le \frac{\pi }{2}$ 即 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，符合反正弦函数的值域范围。

根据三角函数的诱导公式： $y=\sin x=\sin (\pi -t)=\sin t$

由于 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，根据反正弦函数的定义，可以直接将 $t$ 用 $y$ 表示： $t=\arcsin y$

再将 $t=\pi -x$ 代回上式： $\pi -x=\arcsin y⟹x=\pi -\arcsin y$

将自变量与因变量的符号互换（即 $x$ 换为 $y$，$y$ 换为 $x$），得到反函数的解析式为： $y=\pi -\arcsin x$ 其定义域为原函数的值域，即 $x\in [-1,1]$。

方法二：特殊值排除法

取特殊值进行筛选。 当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，代入原函数得 $y=\sin \frac{\pi }{2}=1$。 根据反函数的定义，当反函数的自变量输入为 $1$ 时，输出必须返回原自变量 $\frac{\pi }{2}$。

将 $x=1$ 分别代入各选项的解析式中进行检验（已知 $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$）：

• (A) $-\arcsin 1=-\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}$ （错误）

• (B) $-\pi -\arcsin 1=-\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}$ （错误）

• (C) $\pi +\arcsin 1=\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}$ （错误）

• (D) $\pi -\arcsin 1=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$ （符合）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求解步骤（反解 $x$，互换 $x,y$，确定定义域），反正弦函数的主值区间限制。

2. 核心方法：主值化归法（通过整体平移将非主值区间转化为标准主值区间）；特殊点排除法。

3. 避坑指南：很多考生容易盲目得出 $y=\arcsin x$ 或者忽略了定义域导致错选。必须牢记 $\arcsin x$ 的输出范围被限制在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，若原函数的 $x$ 不在此区间，必须通过加减 $\pi$ 或加负号等变换处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查反三角函数的概念，源于正弦函数在单调区间上存在反函数。
2. 结论推广: 对于正弦函数 $y=\sin x$：
   • 若 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，其反函数为 $y=\arcsin x$；
   • 若 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$，其反函数为 $y=\pi -\arcsin x$；
   • 若 $x\in \left[\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right]$，其反函数为 $y=\arcsin x-2\pi$。 上述规律以 $2\pi$ 为周期。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性