2003-全国卷理-07 单-一元二次方程的根与系数的关系

本题导读

本题主要考查一元二次方程根的对称性与等差数列性质的综合应用。解题的关键在于发现两个二次因式对应的二次函数拥有相同的对称轴 $x=1$，从而推导出这四个根关于 $x=1$ 对称。结合等差数列的性质，可以直接锁死公差与根的具体数值。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知方程 $(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$ 的四个根组成一个首项为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，则 $|m-n|=$()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{3}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取对称中心：方程可拆分为 $x^2-2x+m=0$ 和 $x^2-2x+n=0$。这两个方程对应的抛物线对称轴都是 $x=-\frac{-2}{2\times 1}=1$。因此，若方程有四个实根，这四个根在实数轴上必然关于 $x=1$ 呈两两对称分布。

2. 利用等差数列锁定根和公差：设这四个根从小到大依次为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，它们构成等差数列。由于关于 1 对称，首项 $x_1=\frac{1}{4}$ 到对称轴 1 的距离，必然等于末项 $x_4$ 到对称轴 1 的距离。通过中项性质 $x_1+x_4=2$ 或 $x_2+x_3=2$ 可以直接推导求出公差 $d$ 及所有根。

3. 根的归属划分：根据两个一元二次方程的根的分布，距离更近的两个内侧根归属于其中一个方程，外侧的两个根归属于另一个方程。

4. 利用韦达定理求值：分别对两个方程应用韦达定理的常数项公式（$x_i{x}_j=m$ 或 $n$），求出 $m$ 和 $n$ 的具体数值，最后求差的绝对值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

原方程可化为两个一元二次方程的并集： $x^2-2x+m=0\text{(1)}$ $x^2-2x+n=0\text{(2)}$

这两个方程对应的二次函数对称轴均为 $x=1$。因此，方程的四个根 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 组成的等差数列关于 $1$ 对称。

设等差数列的公差为 $d$ ($d>0$)。已知首项 $x_1=\frac{1}{4}$，则各项可表示为： $x_1=\frac{1}{4}$ $x_2=\frac{1}{4}+d$ $x_3=\frac{1}{4}+2d$ $x_4=\frac{1}{4}+3d$

由于 $x_1$ 与 $x_4$ 关于 $1$ 对称，根据中点坐标公式有： $x_1+x_4=2⟹\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}+3d\right)=2$ $\frac{1}{2}+3d=2⟹3d=\frac{3}{2}⟹d=\frac{1}{2}$

将 $d=\frac{1}{2}$ 代入各顶项中，求出这四个根的具体数值： $x_1=\frac{1}{4}$ $x_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ $x_3=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$ $x_4=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{7}{4}$

由于 $x_1$ 和 $x_4$ 关于 $1$ 对称且分布在外侧，它们必定是同一个一元二次方程（不妨设为方程 ①）的两个两根。 根据韦达定理的根两两之积公式： $m=x_1\cdot x_4=\frac{1}{4}\times \frac{7}{4}=\frac{7}{16}$

同理， $x_2$ 和 $x_3$ 关于 $1$ 对称且分布在内侧，它们必定是另一个一元二次方程（方程 ②）的两个两根。 根据韦达定理： $n=x_2\cdot x_3=\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}=\frac{15}{16}$

计算 $|m-n|$ 的值： $|m-n|=\left|\frac{7}{16}-\frac{15}{16}\right|=\left|-\frac{8}{16}\right|=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的对称性性质（$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}$），二次方程根的轴对称分布，韦达定理 $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$。
2. 核心方法：对称中心法。利用对称轴 $x=1$ 作为天然的中点，能够规避直接联立高次方程的大量冗余代数计算。
3. 避坑指南：

   • 在配对根时，必须由对称性将 $(x_1,x_4)$ 配对给一个方程，$(x_2,x_3)$ 配对给另一个方程。如果错误地将相邻的两根（如 $x_1,x_2$）成对划归给同一个方程，由于 $x_1+x_2=1\ne 2$，这与方程的一阶系数 $-2$（即两根之和必须为2）直接矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于二次方程与特殊数列交汇的高频经典压轴选择题，侧重考查考生数形结合的直观洞察力以及对“对称性”这一数学美学工具的深入应用。
2. 结论推广: 对于形如 $(x^2-2kx+m)(x^2-2kx+n)=0$ 的方程，其两因式对称轴恒为 $x=k$。若四个根构成公差为 $d$ 的等差数列，则这四个根到对称轴的距离依次为 $\frac{3}{2}d$ 和 $\frac{1}{2}d$。由韦达定理可直接推导出常数差的通用模长公式： $|m-n|=|x_1{x}_4-x_2{x}_3|=\left|\left(k-\frac{3}{2}d\right)\left(k+\frac{3}{2}d\right)-\left(k-\frac{1}{2}d\right)\left(k+\frac{1}{2}d\right)\right|=2d^2$ 本题中已求得 $d=\frac{1}{2}$，直接套用推广公式可得 $|m-n|=2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-03 解-韦达定理求参数
• 1958-湖南-02 解-韦达定理作倒数根方程
• 1987-广东文-25 单-等差数列的通项