2003-全国卷理-03 单-分段函数的概念

本题导读

本题主要考查分段函数不等式的解法。解题的关键在于根据自变量 $x_0$ 所在的不同区间（$x_0\le 0$ 与 $x_0>0$），将分段函数不等式转化为对应的基础代数不等式组分别进行求解，最后将两部分的解集取并集。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}-1,& x\le 0\\ x^{\frac{1}{2}},& x>0\end{array}$，若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　B. $(-1,+\infty )$　C. $(-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定讨论边界：根据分段函数的定义域划分，需对 $x_0$ 的范围分 $x_0\le 0$ 和 $x_0>0$ 两种情况进行讨论。

2. 列出不等式组：

   • 当 $x_0\le 0$ 时，代入第一段解析式，列出不等式组 $\{\begin{array}{l}{x}_0\le 0\\ 2^{-x_0}-1>1\end{array}$。
   • 当 $x_0>0$ 时，代入第二段解析式，列出不等式组 $\{\begin{array}{l}{x}_0>0\\ x_0^{\frac{1}{2}}>1\end{array}$。

3. 求解并合并：分别求出两组不等式组的解集，最后将结果取并集得出总区间。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据分段函数的定义，对 $x_0$ 的取值分类讨论：

情况 1：当 $x_0\le 0$ 时 函数解析式为 $f(x_0)=2^{-x_0}-1$。 由 $f(x_0)>1$ 得： $2^{-x_0}-1>1⟹2^{-x_0}>2$

将右侧的 $2$ 写为指数形式 $2^1$： $2^{-x_0}>2^1$ 因为底数 $2>1$，指数函数单调递增，所以： $-x_0>1⟹x_0<-1$

结合前提条件 $x_0\le 0$，取交集得此部分的解集为： $x_0\in (-\infty ,-1)$

情况 2：当 $x_0>0$ 时 函数解析式为 $f(x_0)=x_0^{\frac{1}{2}}$。 由 $f(x_0)>1$ 得： $x_0^{\frac{1}{2}}>1$

两边同时平方（因 $x_0>0$，两边平方不等号方向不变）： $x_0>1^2⟹x_0>1$

结合前提条件 $x_0>0$，取交集得此部分的解集为： $x_0\in (1,+\infty )$

综合汇总： 将上述两种情况的解集取并集，得到 $x_0$ 的最终取值范围是： $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的分类讨论机制，底数大于 1 的指数不等式性质。
2. 核心方法：分类与整合思想。分段函数问题通常通过“分家”各自求解，最后“合家”并网输出。
3. 避坑指南：

   • 极易在解 $-x_0>1$ 时忘记不等号要变向，错算成 $x_0>-1$。

   • 求解完成后必须与各自的阶段性前提条件（$x_0\le 0$ 或 $x_0>0$）作交集校验，防止解集溢出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的函数与不等式交汇的基础题，旨在考查对分段函数中条件约束和代数映射的理解。
2. 结论推广: 对于任意分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in A\\ h(x),& x\in B\end{array}$，求解不等式 $f(x)>M$ 恒等价于解两个独立的不等式组 $\{\begin{array}{l}x\in A\\ g(x)>M\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}x\in B\\ h(x)>M\end{array}$，最终的总解集为两组解集的并集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形