2003-上海卷理-22 解-新定义函数与函数方程

本题导读

本题是一道高度抽象的函数新定义压轴题。核心在于深刻理解关系式 $f(x+T)=Tf(x)$ 的逻辑含义，将其转化为具体函数（幂函数、指数函数、三角函数）的代数方程，通过方程根的存在性条件、函数的有界性与单调性来逐层推进求解。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 已知集合 $M$ 是满足下列性质的函数 $f(x)$ 的全体：存在非零常数 $T$，对任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $f(x+T)=Tf(x)$ 成立.

(1) 函数 $f(x)=x$ 是否属于集合 $M$？说明理由；

(2) 设函数 $f(x)=a^x$ ($a>0$，且 $a\ne 1$) 的图象与 $y=x$ 的图象有公共点，证明：$f(x)=a^x\in M$；

(3) 若函数 $f(x)=\sin kx\in M$，求实数 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解决第 (1) 问：将 $f(x)=x$ 直接代入新定义方程中，得 $x+T=Tx$。由于此方程需对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，通过对比两边系数或取特殊值（如 $x=0$）判定是否存在这样的非零常数 $T$。
2. 解决第 (2) 问：将 $f(x)=a^x$ 代入定义式中，化简得 $a^T=T$。这意味着 $f(x)=a^x\in M$ 的充要条件是关于 $T$ 的方程 $a^T=T$ 存在非零实数解。由已知条件 $a^x=x$ 有公共点，说明存在实数 $x_0$ 使得 $a^{x_0}=x_0$。证明当 $x_0\ne 0$ 时，$x_0$ 即为所求的 $T$；当 $x_0=0$ 时进行可行性修正。
3. 解决第 (3) 问：将 $f(x)=\sin kx$ 代入定义式中，得 $\sin k(x+T)=T\sin kx$。利用函数有界性分析：左边振幅为 1，右边振幅为 $|T|$。若 $|T|>1$，当 $\sin kx=1$ 时右边绝对值大于 1 导致无解；若 $|T|<1$ 同理。从而锁定 $T$ 的可能取值只能为 $\pm 1$。分类讨论 $T=1$ 和 $T=-1$ 时的三角方程，进而求出 $k$ 的范围。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=x\notin M$

(2) 证明见解析（由 $a^x$ 与 $y=x$ 图象有公共点知 $a^T=T$ 有非零解）

(3) $k$ 的取值范围为 $\{k\mid k=\lambda \pi ,\lambda \in \mathbf{Z}\}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 判断 $f(x)=x$ 是否属于集合 $M$： 答：$f(x)=x\notin M$。 理由如下： 假设 $f(x)=x\in M$，则存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in \mathbb{R}$ 均有： $x+T=Tx$ 上式可变形为：$(T-1)x=T$。 要使该方程对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，必须满足： $\{\begin{array}{l}T-1=0\\ T=0\end{array}$ 此方程组无解。 故不存在满足条件的非零常数 $T$，所以 $f(x)=x\notin M$。

(2) 证明：$f(x)=a^x\in M$： 将 $f(x)=a^x$ 代入定义式 $f(x+T)=Tf(x)$ 得： $a^{x+T}=T\cdot a^x⟹a^x\cdot a^T=T\cdot a^x$ 因为对任意 $x\in \mathbb{R}$， $a^x>0$，两边同除以 $a^x$ 得： $a^T=T\text{(1)}$ 因此，$f(x)=a^x\in M$ 等价于方程①存在非零实数解 $T$。

已知函数 $y=a^x$ 的图象与 $y=x$ 的图象有公共点， 说明存在实数 $x_0$，使得 $a^{x_0}=x_0$ 成立。 因为当 $x_0=0$ 时，$a^0=1\ne 0$，所以公共点的横坐标 $x_0\ne 0$。 从而，方程 $a^x=x$ 存在非零实数根 $x_0$。 令 $T=x_0$，则 $T$ 为非零常数，且显然满足 $a^T=T$。 即方程①存在非零实数解。 所以，$f(x)=a^x\in M$。

(3) 求 $f(x)=\sin kx\in M$ 时实数 $k$ 的取值范围： 若 $k=0$，则 $f(x)=0$。代入定义式得 $0=T\cdot 0=0$ 对任意非零常数 $T$ 均恒成立。 故 $k=0$ 符合题意。

若 $k\ne 0$，将 $f(x)=\sin kx$ 代入定义式得： $\sin k(x+T)=T\sin kx\text{对任意 }x\in \mathbb{R}\text{ 恒成立}\text{(2)}$ 因为对任意 $x\in \mathbb{R}$， $|\sin k(x+T)|\le 1$，所以 $|T\sin kx|\le 1$ 恒成立。 由于 $k\ne 0$，当 $x=\frac{\pi }{2k}$ 时，$\sin kx=1$，代入上式得 $|T|\le 1$。 当 $x=-\frac{\pi }{2k}$ 时，$\sin kx=-1$，代入上式得 $|-T|\le 1⟹|T|\le 1$。 又因为在方程②中，若 $|T|<1$，当左边取到最大值 1 时，右边最大只能为 $|T|<1$，两边无法恒等。 或者：在②中分别取特殊值：

• 令 $x=0$，得 $\sin kT=T\sin 0=0⟹kT=m\pi$ ($m\in \mathbb{Z}$)；
• 令 $x=\frac{\pi }{2k}$，得 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+kT\right)=T\sin \frac{\pi }{2}⟹\cos kT=T$。 由平方关系 ${\sin }^{2}kT+{\cos }^{2}kT=1$ 得： $0^2+T^2=1⟹T^2=1$ 因为 $T$ 为非零常数，所以 $T=1$ 或 $T=-1$。

分类讨论：

• 情况一：当 $T=1$ 时 方程②化为：$\sin (kx+k)=\sin kx$。 根据正弦函数图象性质，要使上式对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，自变量的增量 $k$ 必须是其周期的整倍数： $k=2n\pi (n\in \mathbb{Z})$ 因为 $k\ne 0$，所以 $k=2n\pi$ ($n\in \mathbb{Z}$ 且 $n\ne 0$)。

• 情况二：当 $T=-1$ 时 方程②化为：$\sin (kx-k)=-\sin kx=\sin (-kx)$。 变形得：$\sin (kx-k)+\sin kx=0⟹2\sin \left(kx-\frac{k}{2}\right)\cos \left(-\frac{k}{2}\right)=0$ 恒成立。 由于 $\sin \left(kx-\frac{k}{2}\right)$ 随 $x$ 变化而变化，不可能恒为 0，只能是： $\cos \frac{k}{2}=0⟹\frac{k}{2}=n\pi +\frac{\pi }{2}⟹k=(2n+1)\pi (n\in \mathbb{Z})$

综合上述所有情况，$k$ 的可能取值为：$k=0$，或 $k=2n\pi$ ($n\ne 0$)，或 $k=(2n+1)\pi$。 观察发现，$2n\pi$ （$n\ne 0$）表示所有非零偶数倍的 $\pi$；$(2n+1)\pi$ 表示所有奇数倍的 $\pi$；$k=0$ 包含了 0 倍的 $\pi$。 因此，所有可能的结果可以统一合并为 $\pi$ 的整数倍。 即：$k=\lambda \pi$ ($\lambda \in \mathbb{Z}$)。

综上所述，实数 $k$ 的取值范围为 $\{k|k=\lambda \pi ,\lambda \in \mathbb{Z}\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数方程与恒成立问题；特值法在抽象函数中的应用；三角函数的有界性、周期性命题转化。
2. 核心方法：必要条件先行法（特值约束法）。在第 (3) 问中，直接面对恒成立方程较难下手，通过代入特殊点 $x=0$ 和 $x=\frac{\pi }{2k}$ 快速缩减未知数 $T$ 的取值空间至 $\pm 1$，再反过来验证充分性，是攻克压轴题的常规利器。
3. 避坑指南：
   • 恒成立与存在性混淆：第 (1) 问中 $(T-1)x=T$ 必须对任意 $x$ 成立，不能误认为只要存在某个 $x$ 成立即可。
   • 漏掉 $k=0$ 的极端情况：在第 (3) 问中，考生习惯性直接对自变量进行除法或者变形，极易漏掉 $k=0$ 导致结果不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题以函数方程 $f(x+T)=Tf(x)$ 为新定义载体，考查集合思想与函数方程的求解，当 $T=1$ 时即退化为标准周期函数。
2. 结论推广: 若函数满足 $f(x+T)=kf(x)$ ($k>0,k\ne 1$)，则其一般形式解可以写成 $f(x)=k^{\frac{x}{T}}\cdot P(x)$ 的结构，其中 $P(x)$ 是一个以 $T$ 为周期的标准周期函数。本题中 $T$ 自身充当了系数 $k$，从而使代数特征在第 (2) 问中收敛于特殊交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性