2003-上海卷理-21 解-平面向量的坐标运算与垂直条件

本题导读

本题是一道集平面向量、解析几何（圆与抛物线）、代数方程于一体的综合压轴题。核心在于利用向量垂直与长度关系确定点坐标，通过图形对称性转化圆的方程，并利用曲线上存在对称点这一几何条件转化为一元二次方程交点及判别式问题进行求解。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在以 $O$ 为原点的直角坐标系中，点 $A(4,-3)$ 为 $△OAB$ 的直角顶点.已知 $|AB|=2|OA|$，且点 $B$ 的纵坐标大于零.

(1) 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标；

(2) 求圆 $x^2-6x+y^2+2y=0$ 关于直线 $OB$ 对称的圆的方程；

(3) 是否存在实数 $a$，使抛物线 $y=a{x}^2-1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两点？若不存在，说明理由；若存在，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解决第 (1) 问：$△OAB$ 以 $A$ 为直角顶点，说明 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。设 $\overrightarrow{AB}=(x,y)$，根据垂直的坐标表示以及模长关系 $|AB|=2|OA|$ 列出方程组。结合点 $B$ 的纵坐标大于零筛选出唯一的向量坐标。
2. 解决第 (2) 问：求出点 $B$ 的坐标后得到直线 $OB$ 的方程。将已知圆化为标准方程找出圆心和半径。根据圆的对称性，半径保持不变，求出圆心关于直线 $OB$ 的对称点坐标，即可写出新圆的方程。
3. 解决第 (3) 问：曲线关于直线对称的转化。抛物线上存在关于直线 $OB$ 对称的两点，等价于“抛物线关于直线 $OB$ 对称的新曲线与原抛物线有两个不同的交点”。或者利用对称中点、斜率性质建立方程组。由于直线 $OB$ 为 $y=x$，其对称规律极为特殊（$x\leftrightarrow y$），可直接通过代换写出对称后的新曲线方程，联立后转化为二次方程根的判别式进行求解。

✅【答案】

Success

(1) $\overrightarrow{AB}=(6,8)$

(2) $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10$（即 $x^2+y^2-2x-6y=0$）

(3) 存在，$a$ 的取值范围为 $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标： 由题意， $O(0,0)$，$A(4,-3)$，则 $\overrightarrow{OA}=(4,-3)$。 $|OA|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5⟹|AB|=2|OA|=10$ 设 $\overrightarrow{AB}=(x,y)$。因为 $△OAB$ 的直角顶点为 $A$，所以 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。 根据模长与垂直条件列出方程组： $\{\begin{array}{l}4x-3y=0\\ x^2+y^2=10^2=100\end{array}$ 由第一式得 $x=\frac{3}{4}y$，代入第二式得： ${\left(\frac{3}{4}y\right)}^2+y^2=100⟹\frac{25}{16}{y}^2=100⟹y^2=64⟹y=\pm 8$ 因为 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(4+x,-3+y)$，点 $B$ 的纵坐标为 $-3+y$。 已知点 $B$ 的纵坐标大于零，即 $-3+y>0⟹y>3$。 故取 $y=8$，代入得 $x=6$。 所以，向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为 $(6,8)$。

(2) 求圆关于直线 $OB$ 对称的圆的方程： 由 (1) 可得 $\overrightarrow{OB}=(4+6,-3+8)=(10,5)$，即点 $B$ 的坐标为 $(10,5)$。 所以直线 $OB$ 的方程为： $y=\frac{5}{10}x⟹x-2y=0$

已知圆的方程为 $x^2-6x+y^2+2y=0$，配方化为标准方程： $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=10$ 其圆心为 $M(3,-1)$，半径 $R=\sqrt{10}$。 设圆心 $M(3,-1)$ 关于直线 $x-2y=0$ 的对称点为 $M^{\prime }(x_0,y_0)$。 根据中点在直线上以及斜率垂直性质列出方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{3+x_0}{2}-2\left(\frac{-1+y_0}{2}\right)=0\\ \frac{y_0-(-1)}{x_0-3}=-2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0-2y_0+5=0\\ 2x_0+y_0-5=0\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=3\end{array}$，即对称圆心为 $M^{\prime }(1,3)$。 因为对称后圆的半径不变，仍为 $\sqrt{10}$，所以对称圆的方程为： $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10(\text{或写成 }{x}^2+y^2-2x-6y=0)$

(3) 探究 $a$ 的取值范围： 【注意】由 (2) 易知直线 $OB$ 的方程为 $x-2y=0$，而非特殊角平分线。 设抛物线 $y=a{x}^2-1$ 上存在关于直线 $x-2y=0$ 对称的两点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$ ($x_1\ne x_2$)。 则线段 $PQ$ 的中点 $K\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 在直线 $x-2y=0$ 上，且直线 $PQ$ 与直线 $OB$ 垂直。 因为直线 $OB$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，所以直线 $PQ$ 的斜率为 $-2$。 可设直线 $PQ$ 的方程为 $y=-2x+m$。 将直线 $PQ$ 的方程与抛物线方程联立： $\{\begin{array}{l}y=-2x+m\\ y=a{x}^2-1\end{array}⟹a{x}^2+2x-(m+1)=0\text{(2)}$ 因为 $P,Q$ 是两个不同的点，所以方程②必有两个相异的实根，由韦达定理得： $x_1+x_2=-\frac{2}{a}$ $y_1+y_2=(-2x_1+m)+(-2x_2+m)=-2(x_1+x_2)+2m=\frac{4}{a}+2m$ 由于中点 $K\left(-\frac{1}{a},\frac{2}{a}+m\right)$ 在直线 $x-2y=0$ 上，代入得： $-\frac{1}{a}-2\left(\frac{2}{a}+m\right)=0⟹-\frac{5}{a}-2m=0⟹m=-\frac{5}{2a}$

将 $m=-\frac{5}{2a}$ 代入方程②的判别式 $\Delta$ 中： $\Delta =2^2-4\cdot a\cdot [-(m+1)]=4+4a(m+1)>0$ $4+4a\left(-\frac{5}{2a}+1\right)>0⟹4-10+4a>0⟹4a>6⟹a>\frac{3}{2}$

当 $a>\frac{3}{2}$ 时，方程②总有两个相异实根，且能满足中点在已知直线上。 综上所述，存在实数 $a$，使得抛物线上总有关于直线 $OB$ 对称的两点，其取值范围是 $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的充要条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；点关于普通直线 $Ax+By+C=0$ 的对称点求解；“弦中点法”在圆锥曲线对称性问题中的应用（斜率乘积与中点轨迹）。
2. 核心方法：设而不求与韦达定理。在第 (3) 问中，不直接设出对称两点的坐标，而是利用对称两点连线的斜率固定（$k=-2$）这一几何突破口，设出直线方程，利用代数联立和韦达定理对中点进行约束。
3. 避坑指南：
   • 纵坐标符号判定失误：第 (1) 问中由平方方程解出 $y=\pm 8$ 后，极易忽略点 $B$ 的纵坐标大于零这一硬性限制，必须结合 $A$ 点的纵坐标 $-3$ 进行精确筛选。
   • 误认为 $OB$ 是 $y=x$：部分考生因计算马虎，误将 $B(10,5)$ 的斜率算成 1，导致第 (2)、(3) 问全盘出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的解析几何压轴大题，将对称变换由特殊的轴对称（ $x$ 轴、 $y$ 轴、 $y=x$）推广到了一般的直线 $Ax+By=0$，对考生的数形结合、代数运算和逻辑严密性有极高要求。
2. 结论推广: 对于任意二次曲线 $f(x,y)=0$，若其上存在两点关于直线 $y=kx$ 对称，则这两点连线的斜率必为 $-\frac{1}{k}$。利用这一结论，可将所有类似的“曲线存在关于某直线对称的两点”问题，一律转化为“斜率为 $-\frac{1}{k}$ 的平行弦中点轨迹与原已知直线的交点判定”问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切