2003-上海卷理-16 单-奇函数的性质

本题导读

本题考查函数的图象变换、对称性以及方程根的个数判定。重点在于通过代数式 $g(x)=af(x)+b$ 分析图象在纵轴方向上的伸缩和平移，并利用数形结合的思想将方程的根转化为图象交点问题进行判定。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） $f(x)$ 是定义在区间 $[-c,c]$ 上的奇函数，其图象如图所示：令 $g(x)=af(x)+b$，则下列关于函数 $g(x)$ 的叙述正确的是().

A. 若 $a<0$，则函数 $g(x)$ 的图象关于原点对称

B. 若 $a=-1,-2<b<0$，则方程 $g(x)=0$ 有大于 2 的实根

C. 若 $a\ne 0,b=2$，则方程 $g(x)=0$ 有两个实根

D. 若 $a\ge 1,b<2$，则方程 $g(x)=0$ 有三个实根

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析选项 A（对称性）：$g(x)=af(x)+b$，当 $b\ne 0$ 时，图象整体向上或向下平移，不再关于原点对称。
2. 分析选项 B、C、D（方程的根）：方程 $g(x)=0⟺af(x)+b=0⟺f(x)=-\frac{b}{a}$。 将问题转化为：函数 $y=f(x)$ 的图象与水平直线 $y=-\frac{b}{a}$ 的交点问题。结合 $f(x)$ 图象的极值点（最大值为 2，最小值为 -2）及自变量范围进行判定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• (A) 错误。 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$。 则 $g(-x)=af(-x)+b=-af(x)+b$。 只有当 $b=0$ 时，才有 $g(-x)=-g(x)$（关于原点对称）。若 $b\ne 0$，图象发生纵向平移，不再关于原点对称。题目未限制 $b=0$，故不成立。

• (B) 正确。 方程 $g(x)=0⟺-f(x)+b=0⟺f(x)=b$。 已知 $-2<b<0$，即求 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=b$ 的交点横坐标。 观察图象，在区间 $(2,c]$ 上，函数 $f(x)$ 单调递减，且 $f(2)=0$，当 $x\to c$ 时，$f(x)$ 趋向于负无穷（或小于 -2 的值）。 因为 $b\in (-2,0)$，根据连续函数介值定理，直线 $y=b$ 与 $y=f(x)$ 在 $(2,c]$ 之间必有一个交点，该交点横坐标 $x>2$。因此方程必有大于 2 的实根。

• (C) 错误。 方程 $g(x)=0⟺f(x)=-\frac{2}{a}$。 当 $a=1$ 时，$-\frac{2}{a}=-2$。直线 $y=-2$ 与 $y=f(x)$ 的图象在 $[-c,0)$ 内有一个切点（极小值点），并在 $(2,c]$ 内有一个交点，此时共有两个实根。 但若 $a$ 极大（如 $a=4$），则 $-\frac{2}{a}=-0.5\in (-2,0)$，此时直线 $y=-0.5$ 与 $y=f(x)$ 的图象共有三个交点（三个实根），故不总是两个实根。

• (D) 错误。 方程 $g(x)=0⟺f(x)=-\frac{b}{a}$。 若取 $a=1,b=-2$，则 $-\frac{b}{a}=2$。直线 $y=2$ 与 $y=f(x)$ 在 $(0,2)$ 内有一个切点（极大值点），在 $[-c,-2)$ 内有一个交点，此时只有两个实根，不满足“有三个实根”。

故正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的代数验证；方程根与两函数图象交点的等价转化（$f(x)=k$）。
2. 核心方法：分离参数与数形结合。将动态函数 $g(x)=0$ 的零点问题，转化为静态已知函数 $y=f(x)$ 与动态水平直线 $y=-\frac{b}{a}$ 的交点个数及区间定位问题。
3. 避坑指南：在判断选项 D 时，容易想当然地认为 $b<2$ 时直线必然在极值之间移动。必须通过代入边界特值（如 $-\frac{b}{a}=2$ 或 $-2$）来检验处于相切临界状态时交点个数的变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查导数出现前，高考对函数图象变换（伸缩与平移）和割线/切线交点问题的定性综合考查，属于压轴型选择题。
2. 结论推广: 对于连续函数 $f(x)$ 构成的方程 $af(x)+b=0$ ($a\ne 0$)：
   • 方程根的个数完全取决于比值 $k=-\frac{b}{a}$ 位于 $f(x)$ 的哪些值域区间内。
   • 若 $k$ 严格位于函数的极大值与极小值之间（即 $k\in (-2,2)$），则该三次型曲线结构的方程必有三个相异实根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象
• 1958-沪闽-04 解-待定系数定二次函数四问
• 1958-河北-02 解-正弦型函数周期与图象