2003-上海卷理-13 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查基本三角函数的奇偶性与单调性分析。通过对解析式的初等变换，结合基本函数的图像性质进行逐项判定。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 下列函数中，既为偶函数又在 $(0,\pi )$ 上单调递增的是().

A. $y=\tan |x|$　　B. $y=\cos (-x)$　　C. $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$　　D. $y=\left|\cot \frac{x}{2}\right|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 检验奇偶性：满足 $f(-x)=f(x)$ 的为偶函数。若不满足则直接排除。
2. 检验单调性：在 $(0,\pi )$ 上，自变量 $x>0$，可去掉绝对值号，分析各选项函数在对应区间内的增减性。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析奇偶性

• (A) $f(-x)=\tan |-x|=\tan |x|=f(x)$，为偶函数。
• (B) $y=\cos (-x)=\cos x$，满足 $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$，为偶函数。
• (C) $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$，满足 $f(-x)=-\cos (-x)=-\cos x=f(x)$，为偶函数。
• (D) $f(-x)=\left|\cot \left(-\frac{x}{2}\right)\right|=\left|-\cot \frac{x}{2}\right|=\left|\cot \frac{x}{2}\right|=f(x)$，为偶函数。 四个选项对应的函数均为偶函数。

第二步：分析在 $(0,\pi )$ 上的单调性 当 $x\in (0,\pi )$ 时：

• (A) $y=\tan |x|=\tan x$。因为 $\tan x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上分别单调递增，但在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处无定义，故在 $(0,\pi )$ 上不连续，非单调递增。排除 A。
• (B) $y=\cos x$。余弦函数在 $(0,\pi )$ 上单调递减。排除 B。
• (C) $y=-\cos x$。因为 $y=\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上单调递减，所以 $y=-\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上单调递增。符合题意。
• (D) 当 $x\in (0,\pi )$ 时，$\frac{x}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，此时 $\cot \frac{x}{2}>0$。 则 $y=\left|\cot \frac{x}{2}\right|=\cot \frac{x}{2}$。 因为 $y=\cot \theta$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减，且 $\theta =\frac{x}{2}$ 为增函数，所以该复合函数在 $(0,\pi )$ 上单调递减。排除 D。

故正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的定义；正弦、余弦、正切、余切函数的单调区间。
2. 核心方法：性质判定法。利用诱导公式 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ 简化解析式是快速判断的关键。
3. 避坑指南：误选 A 选项。部分考生因记得 $\tan x$ 的导数恒正，误以为 $\tan x$ 在整个开区间 $(0,\pi )$ 上单调递增，忽略了渐近线 $x=\frac{\pi }{2}$ 导致的定义域断裂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题主要考查基本初等函数（三角函数）的图像与性质，属于教材基础概念性质的综合比对题。
2. 结论推广: 若偶函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上单调递增（其中 $0\le a<b$），则由对称性可知，其在对称区间 $(-b,-a)$ 上必然单调递减。这一性质常用于求解抽象函数不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性