2003-上海卷理-07 填-正弦定理

本题导读

本题考查解三角形的基本工具（正弦定理与余弦定理）的综合运用，以及使用反三角函数准确表示特殊或非特殊角的能力。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$，则 $\angle ABC=$ ________.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正弦定理，三角形的边长之比等于其对应角的正弦值之比，从而将已知的正弦比转化为边长比 $a:b:c=2:3:4$。
2. 引入比例系数 $k$（或直接赋值），设出三边 $a,b,c$ 的具体表示式。
3. 题目要求 $\angle ABC$ 即角 $B$。已知三角形三边，利用余弦定理求出 $\cos B$ 的值。
4. 结合三角形内角范围 $B\in (0,\pi )$，利用反余弦函数 $\arccos$ 表示出角 $B$。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{11}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由正弦定理转化边长比 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得： $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$ 不妨设 $a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（其中 $k>0$）。

第二步：利用余弦定理求 $\cos B$ 根据余弦定理，角 $B$ 的余弦值为： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ 将 $a,b,c$ 的表达式代入得： $\cos B=\frac{(2k{)}^2+(4k{)}^2-(3k{)}^2}{2\cdot (2k)\cdot (4k)}=\frac{4k^2+16k^2-9k^2}{16k^2}=\frac{11k^2}{16k^2}=\frac{11}{16}$

第三步：用反三角函数表示角 $B$ 因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $B\in (0,\pi )$。 由 $\cos B=\frac{11}{16}$，利用反余弦函数表达为： $B=\arccos \frac{11}{16}$

故答案为 $\arccos \frac{11}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角转化性质（$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$）；余弦定理的基本应用；反三角函数的概念。
2. 核心方法：赋值法。在纯比例运算中，直接令 $a=2,b=3,c=4$ 进行计算，可以免去消去未知数 $k$ 的步骤，简化运算。
3. 避坑指南：
   • 字母对应错误：题目所求为 $\angle ABC$ 即角 $B$，对应的边为 $b=3k$，在套用余弦定理时切勿将分子写成 $b^2+c^2-a^2$。
   • 符号书写不规范：高考要求用反三角函数精确表示，切勿使用计算器将其化为约等小数度数；需注意 $\arccos x$ 的取值范围是 $[0,\pi ]$，正好与三角形内角范围契合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解三角形章节的经典标准题型（已知三边之比求内角），通常作为解析几何或三角函数综合题的基础工具。
2. 结论推广: 若在 $△ABC$ 中已知 $\sin A:\sin B:\sin C=l:m:n$，则最大角必为 $n$ 所对应的角 $C$（假设 $l\le m\le n$）。若 $l^2+m^2>n^2$，则该三角形为锐角三角形；若 $l^2+m^2=n^2$，则为直角三角形；若 $l^2+m^2<n^2$，则为钝角三角形。本题中 $2^2+3^2=13<4^2=16$，故 $△ABC$ 实际是一个钝角三角形（钝角在角 $C$ 处，所求的角 $B$ 为锐角）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标Ⅰ理-16 填-正弦定理
• 2024-北京卷-16 解-解三角形
• 2024-甲卷文-12 单-正弦定理