2003-上海卷理-04 填-极坐标与直角坐标的转换

本题导读

本题考查极坐标系与直角坐标系的相互转换，以及利用直角坐标系中的几何性质（点到直线的垂线段最短）求解最值点坐标。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在极坐标系中，定点 $A\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$，点 $B$ 在直线 $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =0$ 上运动，当线段 $AB$ 最短时，点 $B$ 的极坐标是 ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，将点 $A$ 的极坐标和直线的极坐标方程统一转化为直角坐标。
2. 在直角坐标系中，线段 $AB$ 最短意味着点 $B$ 是过点 $A$ 向已知直线所作垂线的垂足。
3. 求出过点 $A$ 且与已知直线垂直的直线方程，联立两直线方程求得垂足 $B$ 的直角坐标。
4. 将点 $B$ 的直角坐标重新化为极坐标。

✅【答案】

Success

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\pi }{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化为直角坐标 由 极坐标与直角坐标的转换公式 $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 得： 定点 $A\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ 的直角坐标为 $(0,1)$。 直线的极坐标方程 $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =0$ 转化为直角坐标方程为： $x+y=0$

第二步：求线段 $AB$ 最短时的垂足 $B$ 当线段 $AB$ 最短时，$AB$ 垂直于直线 $x+y=0$。 因为直线 $x+y=0$ 的斜率为 $-1$，所以垂线 $AB$ 的斜率为 $1$。 又垂线 $AB$ 过点 $A(0,1)$，其直角坐标方程为： $y-1=1\cdot (x-0)⟹x-y+1=0$ 联立两直线方程求解点 $B$ 的直角坐标： $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$ 即点 $B$ 的直角坐标为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

第三步：将点 $B$ 转换回极坐标 对于点 $B\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$： $\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为点 $B$ 在第二象限，且 $\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$， 所以极角 $\theta =\frac{3\pi }{4}$。 故点 $B$ 的极坐标为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\pi }{4}\right)$。

故答案为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\pi }{4}\right)$。（注：满足条件极坐标表示形式不唯一，如 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\pi }{4}\right)$ 亦可）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式；平面几何中点到直线的垂线段最短。
2. 核心方法：以直角坐标系为桥梁。直接在极坐标系中解决距离最值通常较为抽象，转化为直角坐标系后可利用成熟的解析几何方法求解。
3. 避坑指南：在将直角坐标 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 转换为极角时，切忌仅根据 $\tan \theta =-1$ 盲目得出 $\theta =-\frac{\pi }{4}$。务必先根据横纵坐标的符号判定点所在象限（第二象限），进而确定正确的极角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查极坐标系基础应用，是高考选考/必填部分关于“坐标系与参数方程”交汇的标准考查形式。
2. 结论推广: 点 $A({\rho }_0,{\theta }_0)$ 到直线 $\rho \cos (\theta -\alpha )=p$ 的最短距离可以通过极坐标系下的点到直线距离公式 $d=|{\rho }_0\cos ({\theta }_0-\alpha )-p|$ 直接求得。若求垂足，仍推荐通过直角坐标过渡以确保运算准确度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-13 填-点到直线距离公式
• 2015-北京卷理-11 填-极坐标
• 2018-全国卷III理-06 单-直线方程