2003-上海文-11 填-外接圆面积极限

本题导读

本题考查三角形外接圆面积，以及数列的极限。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 已知点 $A\left(0,\frac{2}{n}\right)$，$B\left(0,-\frac{2}{n}\right)$，$C\left(4+\frac{2}{n},0\right)$，其中 $n$ 为正整数，设 $S_n$ 表示 $△ABC$ 外接圆的面积，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 外接圆圆心在 $AB$ 的垂直平分线（$x$ 轴）上，设 $(x_0,0)$。
2. 由到 $A$、$C$ 距离相等求 $x_0$，再取极限求半径与面积。

✅【答案】

Success

$4\pi$

✍【详细解析】

Abstract

$AB$ 为竖直线段，其垂直平分线为 $x$ 轴，故外接圆圆心为 $(x_0,0)$.由 $x_0^2+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2={\left(x_0-4-\frac{2}{n}\right)}^2$ 得 $x_0=\frac{(4+\frac{2}{n}{)}^2-\frac{4}{n^2}}{2(4+\frac{2}{n})}$.当 $n\to \infty$ 时 $x_0\to 2$，外接圆半径趋于 $2$，故 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\pi \cdot 2^2=4\pi$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：外接圆面积极限
2. 核心方法：外接圆半径由正弦定理，$n\to \infty$ 时 $A,B\to (0,0)$、$C\to (4,0)$，圆心趋于 $(2,0)$，面积 $\pi \cdot 2^2=4\pi$
3. 避坑指南：先求外接圆半径关于 $n$ 的表达式再取极限

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材正弦定理与极限
2. 结论推广: 一般地，外接圆面积先求半径再取极限；用正弦定理求半径表达式，再取极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-21 解-抛物线外接圆与切线
• 2009-天津文-11 填-相似与外接圆直径
• 2015-新课标Ⅱ文-07 单-外接圆