2002-苏豫粤卷-20 解-点差法与弦中点问题

本题导读

本题第一问考查双曲线的弦中点问题，利用“点差法”可直接求出直线的斜率；第二问探讨中点弦及其垂直平分线与双曲线交点的几何性质，通过代数运算和代数式结构判断四点是否共圆。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 设 $A,B$ 是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点.

(1)求直线 $AB$ 的方程；

(2)如果线段 $AB$ 的垂直平分线与双曲线相交于 $C,D$ 两点，那么 $A,B,C,D$ 四点是否共圆？为什么？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问利用点差法：设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，代入双曲线方程作差，结合中点坐标 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=4$，求出直线斜率 $k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$。
2. 第二问共圆判定：

• 先写出线段 $AB$ 的垂直平分线 $CD$ 的方程，其斜率为 $k_{CD}=-\frac{1}{k_{AB}}$，且过点 $N(1,2)$。
• 联立直线 $AB$ 的方程与双曲线方程，验证交点是否存在，计算得到线段 $AB$ 长的平方（或通过 $|NA|\cdot |NB|$ 的代数式）。
• 联立直线 $CD$ 的方程与双曲线方程，计算得到线段 $CD$ 长的平方（或通过 $|NC|\cdot |ND|$ 的代数式）。
• 根据对称性，若 $A,B,C,D$ 四点共圆，由于 $AB\perp CD$ 且交点为 $N$，由相交弦定理知必须满足 $NA\cdot NB=NC\cdot ND$，通过检验该条件是否成立得出结论。

✅【答案】

Success

(1) 直线 $AB$ 的方程为 $y=x+1$

(2) $A,B,C,D$ 四点共圆

✍【详细解析】

Abstract

（1）求直线 $AB$ 的方程

解：设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。因为 $A,B$ 在双曲线上，则： $x_1^2-\frac{y_1^2}{2}=1\text{(1)}$ $x_2^2-\frac{y_2^2}{2}=1\text{(2)}$ ① - ② 得： $(x_1^2-x_2^2)-\frac{1}{2}(y_1^2-y_2^2)=0⟹(x_1-x_2)(x_1+x_2)=\frac{1}{2}(y_1-y_2)(y_1+y_2)$

因为点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，所以 $x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=4$。 代入上式得： $2(x_1-x_2)=\frac{1}{2}\cdot 4(y_1-y_2)⟹2(x_1-x_2)=2(y_1-y_2)$ 由此可得直线 $AB$ 的斜率： $k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=1$

所以直线 $AB$ 的方程为： $y-2=1\cdot (x-1)⟹y=x+1(\text{或 }x-y+1=0)$

将 $y=x+1$ 联立双曲线方程 $2x^2-y^2=2$： $2x^2-(x+1{)}^2=2⟹x^2-2x-3=0$ $\Delta =16>0$，方程有两不等实根，说明直线与双曲线确实有两个交点。

（2）判断 $A,B,C,D$ 四点是否共圆

解：$A,B,C,D$ 四点不共圆。理由如下：

由（1）知，直线 $AB$ 的斜率为 $1$。 因为 $CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，所以直线 $CD$ 的斜率为： $k_{CD}=-\frac{1}{k_{AB}}=-1$ 又直线 $CD$ 过线段 $AB$ 的中点 $N(1,2)$，所以直线 $CD$ 的方程为： $y-2=-1\cdot (x-1)⟹y=-x+3$

联立直线 $CD$ 的方程与双曲线方程 $2x^2-y^2=2$ 得： $2x^2-(-x+3{)}^2=2⟹x^2+6x-11=0$ 该方程的判别式 $\Delta =36-4\times 1\times (-11)=80>0$，说明直线 $CD$ 与双曲线有两个交点 $C,D$。

因为直线 $AB$ 与直线 $CD$ 垂直相交于点 $N(1,2)$， 根据相交弦定理的逆定理，若 $A,B,C,D$ 四点共圆，则点 $N$ 到四点的距离必须满足： $|NA|\cdot |NB|=|NC|\cdot |ND|$

设直线 $AB$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（$t$ 为参数），代入 $2x^2-y^2=2$ 得： $2{\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2-{\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2=2⟹\frac{1}{2}{t}^2+\sqrt{2}t-4=0⟹t^2+2\sqrt{2}t-8=0$ 由参数的几何意义， $|NA|\cdot |NB|=|t_1{t}_2|=8$。

设直线 $CD$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}u\\ y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}u\end{array}$（$u$ 为参数），代入 $2x^2-y^2=2$ 得： $2{\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}u\right)}^2-{\left(2-\frac{\sqrt{2}}{2}u\right)}^2=2⟹\frac{1}{2}{u}^2+3\sqrt{2}u-4=0⟹u^2+6\sqrt{2}u-8=0$ 由参数的几何意义， $|NC|\cdot |ND|=|u_1{u}_2|=8$。

由此可见， $|NA|\cdot |NB|=|NC|\cdot |ND|=8$。 又因为点 $N$ 位于线段 $AB$ 内部（因为 $t_1{t}_2=-8<0$），且点 $N$ 位于线段 $CD$ 内部（因为 $u_1{u}_2=-8<0$）。 根据相交弦定理，两条互相垂直的相交弦若满足被交点分割的线段积相等，则这两条弦的四个端点必共圆。

(修正：原结论计算无误，四点确实共圆) 因此， $A,B,C,D$ 四点共圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点弦问题的“点差法”公式应用，两直线垂直的斜率关系，相交弦定理在共圆判定中的应用。
2. 核心方法：参数方程几何意义法。利用直线的标准参数方程中的常数项之积表示点到弦两端点距离的乘积，可以规避传统解析几何中复杂的四点坐标计算。
3. 避坑指南：

• 第一问求出斜率后，必须联立方程检验判别式 $\Delta >0$，防止中点在双曲线外部无法构成实足弦；

• 第二问判定共圆时，若使用弦长关系，需注意因为 $N$ 是 $AB$ 的中点， $|NA|\cdot |NB|=|NA{|}^2=\frac{1}{4}|AB{|}^2$，而 $N$ 不是 $CD$ 的中点，因此 $|NC|\cdot |ND|\ne \frac{1}{4}|CD{|}^2$，不能直接通过比较 $|AB|$ 和 $|CD|$ 的长来判定，必须使用精确的幂元素（相交弦定理）进行度量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线的综合性质。弦中点及垂直平分线的交点性质是解析几何大题的经典设问。
2. 结论推广：对于有心圆锥曲线 $m{x}^2+n{y}^2=1$，若两条互相垂直的直线交于点 $N$，且它们分别与曲线交于 $A,B$ 和 $C,D$。若点 $N$ 是其中一条弦（如 $AB$）的中点，其四点共圆的充要条件与曲线的离心率、坐标轴传导结构高度相关。在本题特定的系数下，乘积恰好相等，形成了一个完美的对称共圆几何外形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明