2002-苏豫粤卷-16 填-函数性质的应用

本题导读

本题考查函数对称性在特殊组合求和中的应用。重点在于通过观察自变量互为倒数的两项之间的代数关系，发现隐藏的恒等式 $f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，从而实现多项求和的快速化简。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 已知 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，那么 $f(1)+f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)+f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)+f(4)+f\left(\frac{1}{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 探寻内在规律：待求式中出现了自变量互为倒数的组合，如 $2$ 与 $\frac{1}{2}$，$3$ 与 $\frac{1}{3}$ 等。因此优先研究 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的代数特征。
2. 通分化简核心式：代入 $\frac{1}{x}$ 计算 $f\left(\frac{1}{x}\right)$，并与 $f(x)$ 相加进行通分，提炼出通性结论。
3. 配对计算求总和：将待求式按照发现的规律进行分组配对，最后累加得出结果。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先分析函数 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$ 当自变量互为倒数时的性质。 对任意 $x\ne 0$，有： $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$ 分子、分母同时乘以 $x^2$ 得： $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2+1}$

将 $f(x)$ 与 $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 相加： $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{1+x^2}=1$

利用该性质对目标求和式进行重新分组与配对： 原式 $=f(1)+\left[f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\left[f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)\right]+\left[f(4)+f\left(\frac{1}{4}\right)\right]$

分别计算各组的值：

• 单独项：$f(1)=\frac{1^2}{1+1^2}=\frac{1}{2}$；
• 第一组：$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1$；
• 第二组：$f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)=1$；
• 第三组：$f(4)+f\left(\frac{1}{4}\right)=1$。

将各组结果相加： 原式 $=\frac{1}{2}+1+1+1=\frac{7}{2}$（或写为 $3.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特定函数结构的性质挖掘，数集序列中关于倒数对称项的配对消元法。
2. 核心方法：整体思想与配对求和。通过证明通性命题 $f(x)+f(\frac{1}{x})=1$，免去了将高次分数逐个死算硬结的繁琐过程。
3. 避坑指南：

• 易盲目地将 $f(2),f(3)$ 等数值直接代入原函数硬算，导致运算量过大且极易出错；

• 需注意 $f(1)$ 为独立项，其对应的倒数仍为 $1$，不能盲目适用两两配对的计数规律，应当单独拎出计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的“函数与数列交汇”的性质应用题，其模型演变自教材中关于“倒序相加法”或“特殊函数对称中心”的基本原理。
2. 结论推广：

• 对于函数 $f(x)=\frac{x^2}{a+x^2}$，不具备本题直接凑 $1$ 的特征；但形如 $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ 的指数分式函数，其满足 $f(x)+f(1-x)=1$，常用于自变量关于 $\frac{1}{2}$ 对称的数列求和问题。
• 本题结论可推广为：若 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则 ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)+{\sum }_{i=2}^{n}f(\frac{1}{i})=n-\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1958-湖北-01 解-系数递增数列的前n项和
• 1977-浙江-03 解-裂项求和
• 1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式