2002-苏豫粤卷-13 填-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程形式及其基本几何性质，重点在于根据焦点位置确定椭圆焦距参数 $c$ 及焦点所在的坐标轴，从而建立关于参数 $k$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 椭圆 $5x^2+k{y}^2=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$，那么 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为标准方程：将椭圆方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 两边同除以 $5$，化为标准形式 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$。
2. 判断焦点所在轴：由焦点坐标为 $(0,2)$ 可知，焦点在 $y$ 轴上，且 $c=2$。
3. 建立参数关系式：焦点在 $y$ 轴上意味着 $b^2=1$，$a^2=\frac{5}{k}$。利用椭圆中参数满足的几何关系 $a^2-b^2=c^2$ 列出关于 $k$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：将椭圆方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 变形为标准方程： $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$

因为椭圆的一个焦点是 $(0,2)$， 所以焦点在 $y$ 轴上，且半焦距 $c=2⟹c^2=4$。

由于焦点在 $y$ 轴上，分母 $\frac{5}{k}$ 对应 $a^2$，分母 $1$ 对应 $b^2$，即： $a^2=\frac{5}{k},b^2=1$

根据椭圆中 $a^2,b^2,c^2$ 的关系 $a^2-b^2=c^2$，代入得： $\frac{5}{k}-1=4$ $\frac{5}{k}=5⟹k=1$

经检验，当 $k=1$ 时，$\frac{5}{k}=5>1$，满足 $a>b>0$，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程的特征，以及 $a^2-b^2=c^2$ 几何关系的应用。
2. 核心方法：通过将非标准方程转化为标准方程，利用焦点坐标提取出 $c$ 的值与焦点的位置方向。
3. 避坑指南：

• 易忽视将原方程化为标准方程的步骤，直接视 $5$ 和 $k$ 为分母；

• 易混淆椭圆中 $a^2,b^2,c^2$ 的关系，错用为双曲线的 $a^2+b^2=c^2$；

• 必须根据焦点坐标 $(0,2)$ 准确判定大分母在 $y^2$ 下方，即 $a^2=\frac{5}{k}$，防止位置颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线章节的课本基本概念巩固题，直接考查椭圆方程中各项系数与其几何性质的对应关系。
2. 结论推广：对于方程 $A|x{|}^2+B|y{|}^2=1(A>0,B>0)$：

• 若其表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $A<B$，且 $c^2=\frac{1}{A}-\frac{1}{B}$；
• 若其表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $A>B$，且 $c^2=\frac{1}{B}-\frac{1}{A}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量