2002-苏豫粤卷-12 单-等比数列的实际应用

本题导读

本题是一道应用型数学题，将时代背景（“十五”计划）与数学中的指数增长（等比数列）相结合。重点考查学生从实际问题中提取数据、建立数学模型，并利用合理的估算方法得出近似结果的能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间（2001 年 — 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为().

A. 115000 亿元　　　　　　　　　　　　　　　　B. 120000 亿元

C. 127000 亿元　　　　　　　　　　　　　　　　D. 135000 亿元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清时间节点与增长次数：基准年为 2001 年，国内生产总值为 95933 亿元。目标时间为“十五”末，即 2005 年。从 2001 年到 2005 年，一共经历了 4 次增长。
2. 建立数学模型：设 2001 年国内生产总值为 $A$，年增长率为 $r$。则 2005 年国内生产总值 $Y=A(1+r{)}^4$。代入数据得 $Y=95933\times (1+7.3\%{)}^4$。
3. 寻找快速估算技巧：由于无法直接手算高精度的高次幂，通常将 $95933$ 近似看作 $9.6\times 10^4$，并利用二项式定理展开 $(1+0.073{)}^4\approx 1+4\times 0.073$ 快速收敛计算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，“十五”期间为 2001 年至 2005 年。 已知 2001 年的国内生产总值为 $A=95933$ 亿元，年增长率 $r=7.3\%=0.073$。 到“十五”末（即 2005 年），经历的增长年数为 $2005-2001=4$ 年。 故 2005 年的国内生产总值约为： $Y=95933\times (1+7.3\%{)}^4$

为了快速得出答案，进行合理估算： 将 $95933$ 近似简化为 $96000$。 利用二项式定理对 $(1+0.073{)}^4$ 进行展开，由于 $0.073$ 较小，高次项可忽略不计： $(1+0.073{)}^4=1+C_4^1\times 0.073+C_4^2\times 0.073^2+\cdots \approx 1+4\times 0.073=1+0.292=1.292$

将其代入总量公式进行乘法计算： $Y\approx 96000\times 1.292=96000\times \left(1+0.292\right)$ $96000\times 1=96000$ $96000\times 0.292\approx 96000\times 0.3=28800$ 两部分相加得： $Y\approx 96000+28800=124800\text{ 亿元}$

由于在二项式展开中忽略了均为正数的后续高次项（如 $C_4^2\times 0.073^2\approx 6\times 0.0053=0.0318$），实际的精确值应比 $124800$ 略大。 观察选项，C 选项（127000 亿元）最接近该估算区间。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：产值增长率模型（形如 $y=a(1+r{)}^n$ 的复合增长模型）与利用二项式定理近似计算的结合。
2. 核心方法：

• 指数增长的期数确认法：2005年末的产值是2001年末产值乘以 $(1+r{)}^4$，切忌数错年数（错当成 5 年）；
• 近似微元法：当 $x$ 极小时，$(1+x{)}^n\approx 1+nx$。

3. 避坑指南：

• 避免直接死记硬背盲目硬算 $1.073^4$ 的精确值，极易造成运算超时或笔误；

• 估算时要注意放缩的方向。若在第一步省去了正数项，估算值偏低，需在最终选选项时往偏大的靠拢。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学中“应用步入课堂”的典型试题。将当年国家宏观经济的实际数据无缝接入高中数学复利（等比数列）模型，考查“学以致用”的数学素养。
2. 结论推广：在面对高财、人口、产值等复合增长率估算题时，若年增长率为 $r$（$r<10\%$），经历 $n$ 年后的总量可以用公式 $A\cdot (1+nr+\frac{n(n-1)}{2}{r}^2)$ 快速锁定头两位有效数字，能大幅提高选择题的解题速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-23 解-冷轧机的数列模型
• 1999-广东-20 解-冷轧机的数列模型
• 2000-上海文-06 填-增长率实际应用