2002-苏豫粤卷-10 单-极坐标与直角坐标的转换

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及圆与直线的位置关系。核心在于将极坐标方程化为直角坐标方程，通过配方与数形结合判断图形特征。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 极坐标方程 $\rho =\cos \theta$ 与 $\rho \cos \theta =\frac{1}{2}$ 的图形是（本题附图）

🔍【思路分析】

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1. 统一转换至直角坐标系：利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$、${\rho }^2=x^2+y^2$。

2. 分析第一个方程的图形：将 $\rho =\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$，化为直角坐标方程并配方，确定圆的圆心和半径。

3. 分析第二个方程的图形：由 $x=\rho \cos \theta$ 知 $\rho \cos \theta =\frac{1}{2}$ 代表一条垂直于 $x$ 轴的直线。

4. 确定相对位置关系：对比圆心坐标、半径与直线方程，判断直线与圆的位置。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

建立平面直角坐标系，使极点与坐标原点 $O$ 重合，极轴与 $x$ 轴正半轴重合。

对于第一个极坐标方程 $\rho =\cos \theta$： 两边同乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=\rho \cos \theta$ 代入直角坐标公式得： $x^2+y^2=x⟹x^2-x+y^2=0$ 配方得： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$ 该方程表示以 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 为圆心、$\frac{1}{2}$ 为半径的圆。该圆经过原点 $O$，且关于 $x$ 轴对称。

对于第二个极坐标方程 $\rho \cos \theta =\frac{1}{2}$： 直接代入 $x=\rho \cos \theta$ 得： $x=\frac{1}{2}$ 该方程表示一条垂直于 $x$ 轴（极轴）且过点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 的直线。

综合两图形的相对位置：圆的圆心坐标为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，直线方程为 $x=\frac{1}{2}$。因此，这条直线恰好垂直平分该圆在 $x$ 轴上的直径，即直线穿过圆心。

观察选项图示，B 选项图形符合「圆经过原点 $O$，直线垂直于 $x$ 轴且通过圆心 $\frac{1}{2}$」的几何特征。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标基本转换公式的应用，特殊圆与特殊直线的极坐标方程形态。
2. 核心方法：将抽象的极坐标问题等价转化为熟悉的直角坐标解析几何问题，通过代数运算确定图形的几何特征。
3. 避坑指南：

   • 误将 $\rho \cos \theta =\frac{1}{2}$ 记为水平直线（错当成 $\sin \theta$）。

   • 注意圆心在 $x$ 轴上，其坐标为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，直线 $x=\frac{1}{2}$ 刚好是该圆的一条对称轴（过圆心），而非切线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自教材极坐标系与参数方程章节中常用曲线方程的经典对照练习，主要考查坐标系转化的基本功。

2. 结论推广: 在极坐标系中，方程 $\rho =2r\cos \theta$ 表示以 $(r,0)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆；方程 $\rho \cos \theta =d$ 表示垂直于极轴且与极点距离为 $|d|$ 的直线。当 $d=r$ 时，该直线必然通过圆的圆心，构成垂直平分关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标
• 1987-广东理-27 填-圆的极坐标方程
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程