2002-苏豫粤卷-05 单-集合的表示方法

本题导读

本题考查集合中元素的特征性质以及集合间包含关系的判定，重点在于通过通分变形，将形式不同的集合表示转化为易于比较的数学表达，考查学生的数式变形能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 设集合 $M=\left\{x|x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$，$N=\left\{x|x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$，则().

A. $M=N$　　　　　B. $M\subseteq N$　　　　　C. $M\supseteq N$　　　　　D. $M\cap N=\varnothing$

🔍【思路分析】

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1. 通分化简：将两个集合中的代表元素 $x$ 进行通分，分母均化为 $4$，便于观察分子中整数的结构特征。
2. 比较元素结构：分析两个集合中分子所能表示的整数集合的范围与奇偶性，从而确定两个集合的包含关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（对通用公式进行变形）： 对集合 $M$ 中的元素通分： $x=\frac{2k}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2k+1}{4},k\in \mathbf{Z}$ 由此可知，集合 $M$ 中的元素是所有分母为 $4$、分子为奇数的分数。

对集合 $N$ 中的元素通分： $x=\frac{k}{4}+\frac{2}{4}=\frac{k+2}{4},k\in \mathbf{Z}$ 因为 $k\in \mathbf{Z}$，所以 $k+2$ 也可以遍历全体整数（既包含奇数，也包含偶数）。 由此可知，集合 $N$ 中的元素是所有分母为 $4$、分子为全体整数的分数。

因为奇数集合是整数集合的真子集，所以集合 $M$ 中的任意一个元素都属于集合 $N$，而集合 $N$ 中的元素不一定属于集合 $M$。 故 $MN$，即 $M\subseteq N$。

解法二（列举法）： 对集合 $M$，依次令 $k=-1,0,1,2$，得： $M=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\dots \right\}$ 对集合 $N$，依次令 $k=-3,-2,-1,0,1,2$，得： $N=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\dots \right\}$ 明显可见 $M$ 中的元素均在 $N$ 中，而 $N$ 中的元素比 $M$ 更多。 故 $M\subseteq N$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合中描述法的逻辑理解，以及通过通分比较两集合元素所满足的形式特征。

2. 核心方法：通过式子变形（如通分、换元），将看似不同的式子统一到相同的基准下进行比较。

3. 避坑指南：易盲目认为两个集合中的 $k$ 是同一个字母且取值相同，从而误选 A。必须明确两个描述法中的 $k$ 均为独立代表全体整数的自变量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于对集合基本概念考查的经典题型，改编自教材中关于“数集分类与集合关系”的例题与习题。
2. 结论推广：设 $M=\{x\mid x=ak+b,k\in \mathbf{Z}\}$，$N=\{x\mid x=ck+d,k\in \mathbf{Z}\}$。判断 $M$ 与 $N$ 的关系，通常将 $a,b,c,d$ 统一化为同分母分数，转化为研究分子所对应的同余类（如奇偶性、模 $3$ 的余数等）的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-04 单-集合的包含关系
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1984-全国文-01 单-数集的相等关系