2002-新课标理-16 填-函数的性质与求值

本题导读

本题主要考查函数的性质以及组合求和问题。通过观察待求式中自变量互为倒数的特征，引导考生探究并证明函数满足的倒数对称性关系式 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1$，从而将繁琐的代数分式求和转化为简便的配对整数计算。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 已知 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，那么 f(1) + f(2) + f\left(\frac{1}{2}\right) + f(3) + f\left(\frac{1}{3}\right) + f(4) + f\left(\frac{1}{4}\right) = $$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 发现自变量规律：观察所求的式子，除 $f(1)$ 外，其余各项均可以两两配对，如 $2$ 与 $\frac{1}{2}$，$3$ 与 $\frac{1}{3}$ 等，它们互为倒数。
2. 探究通用关系式：尝试计算并化简 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的代数式，寻找其是否为一个恒等常数。
3. 配对代入求和：利用推导出的恒等关系，将原求和式分组化简，单独计算无法配对的 $f(1)$，最终累加得出结果。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

首先，探究函数 $f(x)$ 的通用代数性质。计算 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的值：

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$

分子分母同时乘以 $x^2$（其中 $x\ne 0$）： $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2+1}$

将 $f(x)$ 与 $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 相加： $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$

利用该恒等式，将原待求式进行重新分组和配对： $\text{原式}=f(1)+\left[f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)\right]+\left[f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)\right]+\left[f(4)+f\left(\frac{1}{4}\right)\right]$

根据上述性质，每一组括号内的和均等于 1，共有 3 组： $\text{原式}=f(1)+1+1+1=f(1)+3$

单独计算 $f(1)$ 的值： $f(1)=\frac{1^2}{1+1^2}=\frac{1}{2}$

代入最终的求和式中： $\text{原式}=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$

答案：$\frac{7}{2}$（或 $3.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的倒数对称性特征（形如 $f(x)+f(\frac{1}{x})=C$ 的函数模型），数列与多项式的分组配对求和。
2. 核心方法：整体代换与局部化归。不逐项死算每个分数的具体数值，而是通过挖掘函数整体的结构规律，实现化繁为简。
3. 避坑指南：切忌盲目将 $f(2),f(3),f(4)$ 等项直接通分硬算，那样会导致计算量极大且极易出错。另外，必须注意 $f(1)$ 是孤立项，它无法与其他项凑成互为倒数的数对，需要单独计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于函数自变量变换性质的探究，是高考中考查“中心对称”或“固定和性质”的鼻祖题型。其本质与柯西函数方程及特殊曲线的对称性紧密相关。
2. 结论推广：

• 推广 1：对于函数 $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$（如高考常见的 $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$），其满足核心性质 $f(x)+f(1-x)=1$，常用于关于 $x_1+x_2=1$ 的倒序相加求和。
• 推广 2：若本题要求计算 $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)+f\left(\frac{1}{2}\right)+\cdots +f\left(\frac{1}{n}\right)$，则其和的通用计算公式为 $n-\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-04 单-等差数列的性质
• 1977-浙江-03 解-裂项求和
• 1986-广东文-34 填-等差数列前二十项和