2002-新课标理-15 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查平面图形绕坐标轴旋转生成的旋转体体积的计算。通过建立关于旋转体截面面积的定积分模型，考查考生对微元法的理解以及定积分基本定理的运算能力。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 直线 $x=0$，$y=0$，$x=2$ 与曲线 $y=(\sqrt{2}{)}^x$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建体积微元：平面图形绕 $x$ 轴旋转时，在任意位置 $x$ 处垂直于 $x$ 轴的薄圆盘截面半径为 $R(x)=y=(\sqrt{2}{)}^x$。
2. 列出积分表达式：圆盘的微元面积为 $S(x)=\pi [R(x){]}^2=\pi y^2$。根据旋转体体积公式，体积 $V={\int }_a^b\pi y^2\mathrm{d}x$。
3. 计算定积分：代入积分上下限 $0$ 到 $2$，求出原函数并计算出最终结果。

✅【答案】

Success

$3\pi$

✍【详细解析】

Abstract

根据旋转体体积公式，平面图形由 $x=a$，$x=b$，$y=0$ 及 $y=f(x)$ 围成，绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为： $V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^2\mathrm{d}x$

由题意知，积分上限 $b=2$，下限 $a=0$，被积函数 $f(x)=(\sqrt{2}{)}^x$。

将其代入体积公式中： $V={\int }_0^2\pi {\left[(\sqrt{2}{)}^x\right]}^2\mathrm{d}x$

化简被积函数： ${\left[(\sqrt{2}{)}^x\right]}^2={\left(2^{\frac{x}{2}}\right)}^2=2^x$

进而方程转化为： $V=\pi {\int }_0^2{2}^x\mathrm{d}x$

求 $2^x$ 的原函数： $\int 2^x\mathrm{d}x=\frac{2^x}{\ln 2}$

运用微积分基本定理计算定积分： $V=\pi {\left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_0^2=\pi \left(\frac{2^2}{\ln 2}-\frac{2^0}{\ln 2}\right)$ $V=\pi \left(\frac{4}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{3\pi }{\ln 2}$

答案：$\frac{3\pi }{\ln 2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分在几何几何中的应用（求旋转体体积），指数函数的定积分公式。
2. 核心方法：截面微元法。将连续的旋转体切片为无数个微小的圆柱体进行累加。
3. 避坑指南：

• 极易遗漏公式中的常数 $\pi$。
• 在求 $2^x$ 的原函数时，容易错记为 $2^x\ln 2$（这是求导公式），导致计算方向错误。
• 减去下限时，容易将 $2^0$ 误算为 $0$，正确的数值应为 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查利用定积分求旋转体的体积，属于定积分应用的常规题。
2. 结论推广：若将曲线推广为一般的指数曲线 $y=a^x$ ($a>0,a\ne 1$)，其余边界条件不变，则该图形绕 $x$ 轴旋转一周的体积通式为 $V=\frac{\pi (a^{2\times 2}-a^{2\times 0})}{\ln a^2}=\frac{\pi (a^4-1)}{2\ln a}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-浙江-12 解-旋转体体积
• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积
• 1986-全国理-13 填-旋转体的体积