2002-新课标理-14 填-椭圆的标准方程

本题导读

本题主要考查椭圆的标准方程形式及其几何性质。解题的关键在于先将非标准形式的椭圆方程化为标准方程，再根据给定的焦点坐标确定椭圆的焦点位置（焦点在 $y$ 轴上），并利用关系式 $c^2=a^2-b^2$ 列出关于参数 $k$ 的方程进行求解。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 椭圆 $5x^2+k{y}^2=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$，那么 k = $$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化方程为标准型：将方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 两边同时除以 5，化为标准形式 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$。
2. 确定焦点轴向：由已知焦点坐标为 $(0,2)$ 可知，焦点在 $y$ 轴上，且半焦距 $c=2$。
3. 利用基本量关系列式：因为焦点在 $y$ 轴上，所以 $y^2$ 项的分母大于 $x^2$ 项的分母，即 $a^2=\frac{5}{k}$，$b^2=1$。利用椭圆性质 $c^2=a^2-b^2$ 列出方程求解 $k$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

将椭圆方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 两边同时除以 5，化为标准形式： $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$

因为椭圆的一个焦点是 $(0,2)$，焦点在 $y$ 轴上， 所以该椭圆的焦点在 $y$ 轴上，且半焦距 $c=2$，从而 $c^2=4$。

根据焦点在 $y$ 轴上的椭圆标准方程特征，可知： $a^2=\frac{5}{k},b^2=1$

在椭圆中，各基本量满足关系式 $c^2=a^2-b^2$，代入相关数据得： $4=\frac{5}{k}-1$

移项化简得： $\frac{5}{k}=5$

解得： $k=1$

经检验，当 $k=1$ 时，$\frac{5}{k}=5>1$，满足 $a>b>0$ 的椭圆定义条件。

答案：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程形式，椭圆中 $a^2,b^2,c^2$ 的几何意义及三者之间的代数关系（$a^2=b^2+c^2$）。
2. 核心方法：方程标准化。处理二次曲线问题时，首要步骤通常是将方程转化为系数为 1 的标准分式结构。
3. 避坑指南：

• 极易混淆双曲线与椭圆的关系式，错用成 $c^2=a^2+b^2$。
• 忽略焦点坐标 $(0,2)$ 隐含的轴向信息。若误认为焦点在 $x$ 轴上，会导致将 $a^2$ 与 $b^2$ 的位置记反，从而解出错误的结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中椭圆标准方程与性质的基本练习题，属于高考中解析几何部分的低难度送分题，旨在考查对基本公式的记忆与直接应用。
2. 结论推广：对于方程 $A{x}^2+B{y}^2=1$ ($A>0,B>0,A\ne B$) 形式的椭圆：

• 若其焦点在 $x$ 轴上，则半焦距平方 $c^2=\frac{1}{A}-\frac{1}{B}$；
• 若其焦点在 $y$ 轴上，则半焦距平方 $c^2=\frac{1}{B}-\frac{1}{A}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量