2002-新课标理-13 填-反函数的概念与性质

本题导读

本题考查函数与其反函数图像交点的求解。利用互为反函数的两个函数图像关于直线 $y=x$ 对称的性质，可将求原函数与反函数图像交点的问题转化为求原函数图像与直线 $y=x$ 的交点问题，以此简化计算。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 函数 $y=\frac{2x}{1+x},x\in (-1,+\infty )$ 图像与其反函数图像的交点为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对称性质：由于单调函数与其反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称，其交点通常落在直线 $y=x$ 上。
2. 建立方程组：将原函数方程与 $y=x$ 联立，组成方程组。
3. 求解并检验：解分式方程，求出 $x$ 与 $y$ 的值，并验证解是否在给定的定义域 $x\in (-1,+\infty )$ 内。

✅【答案】

Success

$(0,0)$，$(1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=\frac{2x}{1+x}$ 在 $x\in (-1,+\infty )$ 上是严格单调递增函数，所以它与其反函数图像的交点必然落在直线 $y=x$ 上。

联立原函数与直线 $y=x$： $\{\begin{array}{l}y=\frac{2x}{1+x}\\ y=x\end{array}$

代入消元得： $x=\frac{2x}{1+x}$

两边同乘以 $1+x$（因 $x>-1$，故 $1+x\ne 0$）： $x(1+x)=2x$ $x+x^2=2x$ $x^2-x=0$ $x(x-1)=0$

解得： $x_1=0,x_2=1$

将 $x$ 的值代入 $y=x$ 中，对应交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 经检验，$x_1=0$ 和 $x_2=1$ 均满足定义域 $x\in (-1,+\infty )$ 及分母不为零的条件。

答案：$(0,0)$ 和 $(1,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与其反函数图像关于 $y=x$ 对称的几何性质，分式方程的解法。
2. 核心方法：化归思想。将求 $f(x)=f^{-1}(x)$ 的交点问题，化归为求解较简单的方程 $f(x)=x$。
3. 避坑指南：有些考生会盲目求出反函数的解析式 $y=\frac{x}{2-x}$ 再联立，虽然逻辑可行，但增加了运算量和出错概率。此外，最终结果需写成点坐标的形式，不能只写 $x=0$ 或 $x=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于课本中反函数基本几何性质的性质应用，属于基础概念辨析题。
2. 结论推广：对于任意在区间 $I$ 上单调递增的函数 $y=f(x)$，方程 $f(x)=f^{-1}(x)$ 与方程 $f(x)=x$ 在该区间内同解。若 $f(x)$ 在该区间内单调递减，则其交点不一定全部在 $y=x$ 上（可能存在关于 $y=x$ 对称的成对交点）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性