2002-新课标理-11 单-排列组合

本题导读

本题主要考查排列组合在立体几何模型中的应用。要求考生对正方体各个面之间的位置关系（相邻与相对）有清晰的认识，通过合理分类或运用间接法，准确计算出符合特定空间约束的组合数。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面，其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有()

A. $8$ 种　　　　　B. $12$ 种　　　　　C. $16$ 种　　　　　D. $20$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解关键表述：“有 $2$ 个面不相邻”在选取 3 个面的前提下，其反面情况是“选出的 3 个面两两均相邻”（即共享同一个顶点的 3 个面）。
2. 计算总选法：首先计算从 6 个面中无条件任选 3 个面的总组合数 $C_6^3$。
3. 计算反面选法：确定正方体中两两均相邻的 3 个面的组合方式。这类组合对应的就是正方体的顶点数。
4. 作差得出结果：用总数减去两两均相邻的选法数，即可得到满足题意的选法总数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：间接计数法（正难则反）

1. 计算总选法数： 从正方体的 6 个面中任意选取 3 个面，总的选法种数为： $C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\text{ 种}$

2. 分析不合题意的选法（反面）： 题目要求“其中有 2 个面不相邻”，它的反面是“选出的 3 个面两两都相邻”。 在正方体中，两两都相邻的 3 个面必然两两相交于一条棱，且这 3 条棱共同交于一个顶点。也就是说，正方体的每一个顶点都唯一对应一组“两两均相邻的 3 个面”。 因为正方体一共有 8 个顶点，所以两两均相邻的 3 个面的选法共有 8 种。

3. 求得符合题意的选法数： 用总选法数减去不合题意的选法数： $\text{符合题意的选法}=20-8=12\text{ 种}$

方法二：直接分类讨论法

选取的 3 个面中“有 2 个面不相邻”，在正方体中不相邻即为相对。因此，选取的 3 个面中必然包含至少一组相对的面。 因为正方体一共有 3 组相对的面，我们以此进行分类讨论：

1. 恰好包含一组相对的面：

• 第一步：从 3 组相对的面中选出 1 组，有 $C_3^1=3$ 种选法；

• 第二步：从剩下的 4 个面中任选 1 个面，有 $C_4^1=4$ 种选法。 根据分步乘法计数原理，此类选法共有 $3\times 4=12$ 种。

2. 包含两组相对的面： 由于一共只选 3 个面，不可能同时凑齐两组相对的面（这需要 4 个面），故此类情况种数为 0。

综上所述，符合题意的选法共有 12 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式的应用，正方体表面位置关系（8个顶点、6个面、3组相对面）。
2. 核心方法：间接法（总数 $-$ 反面）。当正面分类较多或容易遗漏时，“正难则反”是极佳的突破口。
3. 避坑指南：容易将“有 2 个面不相邻”误解为“3 个面两两都不相邻”。在正方体中，两两都不相邻的面最多只有 2 个（即相对的面），不可能找出 3 个两两都不相邻的面，因此必须准确理解文字的逻辑含义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的跨学科交汇题，将立体几何的图形直观与高中排列组合的计数原理相结合，考查考生的空间构造能力。
2. 结论推广：若将问题推广到正八面体：从正八面体的 8 个面中任取 3 个面，其中有 2 个面不相邻（无公共边）的选法数。同样可采用总数 $C_8^3=56$ 减去相邻或共点的情况进行分析。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2015-四川卷理-06 单-计数原理
• 2023-乙卷理-07 单-排列组合