2002-新课标理-09 单-对数函数的图像与性质

本题导读

本题主要考查对数函数的单调性以及不等式的性质。解题的关键在于根据底数 $a$ 的取值范围确定对数函数的单调性，并通过对真数 $xy$ 进行合理的上下界放缩，从而确定目标对数式 ${\log }_a(xy)$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 已知 $0<x<y<a<1$，则有()

A. ${\log }_a(xy)<0$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $0<{\log }_a(xy)<1$

C. $1<{\log }_a(xy)<2$　　　　　　　　　　　　　　D. ${\log }_a(xy)>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析底数与单调性：由于 $0<a<1$，对数函数 $f(t)={\log }_{a}t$ 在 $(0,+\infty )$ 上为严格单调递减函数。
2. 构筑真数的范围：已知 $0<x<y<a$，利用不等式的乘法原理，将两组同向不等式相乘，构造出关于 $xy$ 的不等关系。
3. 应用单调性放缩：将真数 $xy$ 的取值范围代入对数函数中，根据减函数的性质改变不等号方向，最终确定 ${\log }_a(xy)$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：严谨放缩法

由已知条件 $0<x<y<a<1$，可得： $0<x<a$ $0<y<a$

因为不等式两边均为正数，根据同向不等式相乘的性质，将上述两个不等式对应相乘可得： $0<xy<a^2$

接下来，对不等式 $xy<a^2$ 两边同时取以 $a$ 为底的对数。 因为 $0<a<1$，对数函数 $y={\log }_{a}t$ 是单调递减函数，所以取对数后不等号的方向需要发生改变： ${\log }_a(xy)>{\log }_a(a^2)$

根据对数的运算性质 ${\log }_a(a^2)=2$，代入上式即得： ${\log }_a(xy)>2$

方法二：特殊值法

选取符合条件 $0<x<y<a<1$ 的特殊值进行代入验证。 令 $a=\frac{1}{2}$，则可取 $y=\frac{1}{4}$，$x=\frac{1}{8}$。 此时满足 $0<\frac{1}{8}<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}<1$，完全符合题设。

计算真数 $xy$ 的值： $xy=\frac{1}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{32}$

代入目标对数式中计算： ${\log }_a(xy)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{32}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=5$

因为 $5>2$，对照各选项，只有 (D) 选项符合条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的单调性（底数在 $0$ 到 $1$ 之间时为减函数），不等式的乘法性质。
2. 核心方法：同向正数不等式相乘法；减函数取对数改变不等号方向。
3. 避坑指南：在两边取对数时，极易忽略底数 $0<a<1$ 的单调性限制，没有颠倒不等号方向，从而误选为 ${\log }_a(xy)<2$ 相关的错误选项。此外，用特值法时要确保所选的数值严格满足连不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高一数学中幂、指、对数函数大小比较的经典题型，主要考查对数函数在不同底数区间下的图像形态特征。
2. 结论推广：若将条件推广为 $1<x<y<a$，由于此时底数 $a>1$，对数函数为单调增函数，同理可得 $1<xy<a^2$，两边取对数后方向不变，对应的结论则变为 $0<{\log }_a(xy)<2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形