2002-新课标理-06 单-集合的关系与运算

本题导读

本题主要考查集合包含关系的判定。通过对以参数方程形式给出的数集进行通分、变形，将抽象的代数式转化为易于比较的形式，考查考生的逻辑推理能力与基本运算功底。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 设集合 $M=\left\{x|x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$，$N=\left\{x|x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$，则()

A. $M=N$　　　　　B. $M\subseteq N$　　　　　C. $M\supseteq N$　　　　　D. $M\cap N=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一分母法：将两个集合中元素的表达式进行通分，使它们拥有相同的分母，便于对比分子形式。
2. 分析分子结构：对比通分后分子中整数的奇偶性或倍数特征，确定一个集合的元素是否完全属于另一个集合。
3. 列举验证法：通过代入具体的 $k$ 值，列举出两个集合的部分元素，直观判断它们之间的包含关系并排除错误选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通分变形法（严谨推导）

首先，对集合 $M$ 中的元素表达式进行通分： $x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2k+1}{4},k\in \mathbf{Z}$ 由于 $k\in \mathbf{Z}$，则 $2k+1$ 表示所有的奇数。 因此，集合 $M$ 实际上是所有分母为 4、分子为奇数的数组成的集合。

接着，对集合 $N$ 中的元素表达式进行通分： $x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2}=\frac{k+2}{4},k\in \mathbf{Z}$ 由于 $k\in \mathbf{Z}$，则 $k+2$ 也可以取遍所有的整数（包括奇数和偶数）。 因此，集合 $N$ 实际上是所有分母为 4、分子为任意整数的数组成的集合。

因为奇数集是整数集的真子集，所以分子为奇数的数必然包含在分子为任意整数的数之中。 由此可知，集合 $M$ 中的任何一个元素都属于集合 $N$，即 $MN$。

结合选项，满足包含关系 $M\subseteq N$。

方法二：列举法

对集合 $M$，依次代入 $k=-1,0,1,2$ 得到部分元素： $M=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\dots \right\}$

对集合 $N$，依次代入 $k=-3,-2,-1,0,1$ 得到部分元素： $N=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\dots \right\}$

观察可见，$M$ 中的元素全部都在 $N$ 中，而 $N$ 中的元素（如 $0,\frac{2}{4}$）不在 $M$ 中。 由此可直观判定 $M\subseteq N$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合中元素的特征性质描述法，集合间包含关系的判定。
2. 核心方法：结构对齐法（通分法）。将不同的代数形式化为同分母形式，是解决此类集合问题的通用手段。
3. 避坑指南：容易生搬硬套字母 $k$，认为两个集合里都有 $k$ 且表达式相似就误选 (A)。需要明确，集合描述中的 $k$ 只是一个局部占位符变量，集合的本质由其能表示出来的数值集合决定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对集合概念的辨析，属于高一集合章节的经典题型，旨在考查学生对“集合中元素的确定性与代表性”的理解。
2. 结论推广：若已知 $M=\{x|x=ax+b\}$，$N=\{x|x=cx+d\}$ 形式的两个数集，通常都可以采用“通分后研究分子剩余系的覆盖情况”来决定其包含关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1984-全国文-01 单-数集的相等关系