2002-新课标理-04 单-绝对值不等式

本题导读

本题主要考查含绝对值不等式的求解。解题的关键在于通过分类讨论去掉绝对值符号，将其转化为一元一次或一元二次不等式组进行求解，或者利用选项特征进行排除，考查考生的基本运算与逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 不等式 $(1+x)(1-|x|)>0$ 的解集是()

A. $\{x|0\le x<1\}$　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|x<0\text{ 且 }x\ne -1\}$

C. $\{x|-1<x<1\}$　　　　　　　　　　　　D. $\{x|x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去绝对值核心：根据 $x$ 的正负，将不等式拆分为 $x\ge 0$ 和 $x<0$ 两个区间分别讨论。
2. 求解不等式组：在各区间内化简不等式，求出对应区间下的解集。
3. 求并集得出结果：将各区间所得的解集求并集，即为原不等式的最终解集。
4. 快捷验证：亦可通过选取特殊值（如 $x=-2,0$ 等）带入原式快速排除错误选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分类讨论法

对 $x$ 的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号：

1. 当 $x\ge 0$ 时， $|x|=x$。 原不等式化为：$(1+x)(1-x)>0$，即 $1-x^2>0$。 解得：$-1<x<1$。 结合前提条件 $x\ge 0$，此时解集为：$0\le x<1$。

2. 当 $x<0$ 时， $|x|=-x$。 原不等式化为：$(1+x)(1-(-x))>0$，即 $(1+x{)}^2>0$。 因为实数的平方非负，所以只需底数不为 $0$ 即可，即 $1+x\ne 0$，解得 $x\ne -1$。 结合前提条件 $x<0$，此时解集为：$x<0$ 且 $x\ne -1$。

综合上述两种情况，将两部分解集取并集： $\{x|0\le x<1\}\cup \{x|x<0\text{ 且 }x\ne -1\}=\{x|x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$

方法二：特值排除法

• 取 $x=0$，带入原式得 $(1+0)(1-0)=1>0$，命题成立，说明解集中必须包含 $0$，排除 (B)。
• 取 $x=-2$，带入原式得 $(1-2)(1-|-2|)=(-1)\times (1-2)=(-1)\times (-1)=1>0$，命题成立，说明解集中必须包含 $-2$，排除 (A) 和 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类讨论去掉绝对值号，一元二次不等式的解法，代数式恒大于零的零点排除。
2. 核心方法：零点分段法（以 $x=0$ 为分界点分类讨论）；小题巧解中的特值法。
3. 避坑指南：在 $x<0$ 的情况下，极易漏掉 $(1+x{)}^2>0$ 中 $x\ne -1$ 的限制条件，从而误选为 $\{x|x<1\}$。此外，分类讨论后切记要与各自的前提条件取交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高一数学不等式章节的基础练习题变式。考查通过绝对值符号增加运算维度的常规手段。
2. 结论推广：对于形如 $(x-a)(x-|x|)>0$ 或类似涉及绝对值的多项式不等式，均可采用将各绝对值内部函数的“零点”作为分界点进行区间划分的通用逻辑求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形