2002-新课标理-02 单-复数的代数运算

本题导读

本题主要考查复数的幂运算。考生可以通过完全立方公式直接进行代数展开，也可以将复数转化为三角形式或指数形式利用棣莫弗定理快速求解，属于考查基础运算能力的常规题型。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 复数 ${\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^3$ 的值是()

A. $-\mathrm{i}$　　　　　　　B. $\mathrm{i}$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数展开思路：将式子视为 $(a+b{)}^3$ 的结构，直接代入完全立方公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ 进行展开，结合 ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$ 化简。
2. 几何与三角变换思路：识别出 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 是单位圆上的特殊特殊点，其模长为 1，辐角为主值 $\frac{\pi }{3}$，利用棣莫弗定理将幂运算转化为辐角的倍数运算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：完全立方公式展开法

利用公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$，令 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$：

${\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)+3\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^3$

依次计算各项的值：

• 第一项：${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$
• 第二项：$3\times \frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}$
• 第三项：$3\times \frac{1}{2}\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{8}$ （注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$）
• 第四项：$\frac{3\sqrt{3}}{8}{\mathrm{i}}^3=-\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}$ （注意 ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$）

将各项代回并相加相消： ${\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^3=\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}-\frac{9}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{i}$ $=\frac{1}{8}-\frac{9}{8}=-1$

方法二：棣莫弗定理（三角形式）法

设复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。 计算 $z$ 的模长：$|z|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$。 寻找辐角 $\theta$，由 $\cos \theta =\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，可取 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

将 $z$ 写为三角形式： $z=\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}$

根据棣莫弗定理 $z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$，可得： $z^3=1^3\times \left(\cos \left(3\times \frac{\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(3\times \frac{\pi }{3}\right)\right)$ $=\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi$ $=-1+\mathrm{i}\times 0=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算与幂运算，虚数单位 $\mathrm{i}$ 的高次幂周期性（${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$）。
2. 核心方法：完全立方公式代数展开；复数形向三角形的化归（棣莫弗定理）。
3. 避坑指南：在利用代数法展开时，容易在计算 ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^2$ 和 ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)}^3$ 时混淆系数与 $\mathrm{i}$ 的负号，导致虚部未能完全抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查的一体两面源于教材中对虚数基本概念的定义和代数运算。由于 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 是三次单位根 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 相关的变体，在复平面内对应着旋转 $\frac{\pi }{3}$ 的几何行为。
2. 结论推广：在复平面内，若复数 $z=\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n}$，则必有 $z^n=1$。本题中 $z=\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}$，由于辐角为 $\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{6}$，因此它实际上是 6 次单位根之一，满足 $z^6=1$，自然有 $z^3=\sqrt{1}=\pm 1$（结合象限最终确定为 $-1$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式