2002-大纲理-19 解-双曲线的定义与标准方程

本题导读

本题考查圆锥曲线的几何定义及交点存在性判定。核心意图在于测试学生利用双曲线的第一定义确定动点 $P$ 的轨迹方程，结合点到坐标轴距离比例条件建立方程组，并通过判别式或范围约束求解参数 $m$ 取值范围的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 设点 $P$ 到点 $(-1,0)$、$(1,0)$ 距离之差为 $2m$，到 $x$、 $y$ 轴的距离之比为 2，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（求动点 $P$ 的第一条轨迹）：由“到点 $F_1(-1,0)$、 $F_2(1,0)$ 距离之差为 $2m$”可知，若 $m=0$，轨迹为 $y$ 轴；若 $m>0$，根据双曲线定义，动点 $P$ 的轨迹是以 $F_1,F_2$ 为焦点的双曲线。由半焦距 $c=1$，长半轴 $a=m$，利用 $b^2=c^2-a^2=1-m^2$ 写出其标准方程，并注意隐藏约束 $0<m<1$。
2. 第二步（求动点 $P$ 的第二条轨迹）：点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴的距离为 $|y|$，到 $y$ 轴的距离为 $|x|$。由距离之比为 2，列出几何方程 $\frac{|y|}{|x|}=2⟹y^2=4x^2$。
3. 第三步（联立方程求解范围）：将两条轨迹方程联立组成方程组。由于点 $P$ 存在，该方程组必须有实数解。通过代数消元法求出 $x^2$ 的代数式，结合双曲线自变量的固有范围 $x^2\ge m^2$，推导出关于 $m$ 的不等式从而确定其取值范围。

✅【答案】

Success

$m\in \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},0\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。

第一步：由几何条件求出轨迹方程

1. 依据题意，点 $P$ 到定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离之差为 $2m$。 根据平面几何中三角形两边之差小于第三边的性质，必须满足： $2m<|F_1{F}_2|=2⟹0\le m<1$

• 当 $m=0$ 时，点 $P$ 到两定点距离相等，其轨迹为线段 $F_1{F}_2$ 的垂直平分线，即 $y$ 轴（方程为 $x=0$）。

• 当 $0<m<1$ 时，根据双曲线的定义，点 $P$ 的轨迹是以 $F_1,F_2$ 为焦点的双曲线。 此时半焦距 $c=1$，实半轴 $a=m$，则虚半轴平方为 $b^2=c^2-a^2=1-m^2$。 其轨迹方程为： $\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{1-m^2}=1(\text{其中 }|x|\ge m)$

2. 依据点 $P$ 到 $x$ 轴（距离为 $|y|$）与 $y$ 轴（距离为 $|x|$）的距离之比为 2，可得： $\frac{|y|}{|x|}=2⟹y^2=4x^2$

第二步：分类讨论联立方程组的实解存在性

• 情况 1：当 $m=0$ 时 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x=0\\ y^2=4x^2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$ 方程组有实数解 $(0,0)$，故 $m=0$ 符合题意。

• 情况 2：当 $0<m<1$ 时 联立双曲线方程与直线方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{1-m^2}=1\\ y^2=4x^2\end{array}$ 将 $y^2=4x^2$ 代入双曲线方程中，消去 $y$： $\frac{x^2}{m^2}-\frac{4x^2}{1-m^2}=1$ 提取公因式 $x^2$： $x^2\left(\frac{1}{m^2}-\frac{4}{1-m^2}\right)=1$ 通分括号内的分式： $x^2\left(\frac{(1-m^2)-4m^2}{m^2(1-m^2)}\right)=1⟹x^2\left(\frac{1-5m^2}{m^2(1-m^2)}\right)=1$ 解出 $x^2$ 的代数表达式： $x^2=\frac{m^2(1-m^2)}{1-5m^2}$

由于点 $P$ 真实存在，上述解出的 $x^2$ 必须满足两个严密的代数与几何约束条件：

1. 实数性质约束：作为实数平方，必须满足 $x^2>0$。
2. 双曲线定义域约束：对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线，动点横坐标必须满足 $x^2\ge a^2=m^2$。

由于 $0<m<1$，可知分子 $m^2(1-m^2)>0$ 恒成立。 要满足 $x^2>0$，分母必须大于 0： $1-5m^2>0⟹m^2<\frac{1}{5}$

在满足分母大于 0 的前提下，进一步带入几何约束 $x^2\ge m^2$： $\frac{m^2(1-m^2)}{1-5m^2}\ge m^2$ 两边同时除以正数 $m^2$： $\frac{1-m^2}{1-5m^2}\ge 1$ 因为分母 $1-5m^2>0$，两边同时乘以 $(1-5m^2)$ 不改变不等号方向： $1-m^2\ge 1-5m^2$ 移项合并同类项得： $4m^2\ge 0$ 此式在 $0<m<1$ 条件下显然恒成立。

因此，当 $0<m<1$ 时，只需满足 $m^2<\frac{1}{5}$，解得： $0<m<\frac{\sqrt{5}}{5}$

综合上述两种情况： 将 $m=0$ 与 $0<m<\frac{\sqrt{5}}{5}$ 取并集，得到 $m$ 的取值范围为： $\left[0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线几何定义的边界效应；二元二次方程组消元后的值域控制。
2. 核心方法：代数消元法、范围边界控制法。
3. 避坑指南：

• “距离之差”无绝对值号陷阱：题目中给定的是“距离之差”而非“距离之差的绝对值”，严格来说对应的是双曲线的单支或线段的垂直平分线的一部分。但由于本题中第二条轨迹 $y^2=4x^2$ 具有关于原点、 $x$ 轴、 $y$ 轴的完全对称性，单支的实解存在性等价于双支的实解存在性，故直接采用双曲线标准方程计算不影响最终范围。
• 零界点 $m=0$ 遗漏：极易在开始直接套用双曲线定义而默认 $m>0$，从而在最终答案中将左侧的闭区间误写成开区间 $\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何中考查动点轨迹交点存在性的典型解答题。通过对参数取值范围的倒推，综合测试了不等式控制与曲线几何性质的交汇。
2. 结论推广： 对于所有定焦距双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$ 与过原点直线族 $y=\pm kx$ 的交点存在性问题： 其本质是直线的斜率 $k$ 受到双曲线渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}$ 的限制。要使直线与双曲线有交点，直线的倾斜程度必须大于渐近线的倾斜程度（即靠近 $y$ 轴），由此可得通用几何不等式： $k\ge \frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}$ 代入本题参数 $c=1,a=m,k=2$： $2\ge \frac{\sqrt{1-m^2}}{m}⟹4m^2\ge 1-m^2⟹5m^2\ge 1\text{（此方向为小于，应为渐近线斜率大于直线斜率，即：}2>\frac{\sqrt{1-m^2}}{m}⟹4m^2>1-m^2⟹m^2<\frac{1}{5}\text{）}$ 通过渐近线斜率边界判定法，可以免去繁琐的代数消元通分过程，直接求出取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义